contrôle du 19 mai 2011

Corrigé de l'exercice 1

On a tracé ci-dessous, la courbe représentative $C_f$ d'une fonction. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

partie a

1. Par lecture graphique, donner les valeurs de $f\left(-1\right)$ et de $f\prime \left(-1\right)$.

   La tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(-1;4\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\left(-1\right)=4$ et $f\prime \left(-1\right)=0$.

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2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$. Déterminer laquelle.

   La fonction f est décroissante sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$. Par conséquent, la dérivée est négative sur cet intervalle.

   Courbe $C_1$

   Courbe $C_2$

   Courbe $C_3$

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   La courbe $C_2$ est la seule courbe susceptible d'être la représentation graphique de la fonction $f\prime$.

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partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2+2x+15}{x+4}}$.

1. 1. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}x\to -4\\ x>-4\end{array}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$. En déduire l'existence d'une asymptote pour la courbe $C_f$.

      • $\underset{\begin{array}{c}x\to -4\\ x>-4\end{array}}{\lim }-x^2+2x+15=-4$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to -4\\ x>-4\end{array}}{\lim }x+4=0^{+}$ ( $x>-4\iff x+4>0$ ) alors par quotient, $\underset{\begin{array}{c}x\to -4\\ x>-4\end{array}}{\lim }{\displaystyle \frac{-x^2+2x+15}{x+4}}=-\infty$.

        Ainsi, $\underset{\begin{array}{c}x\to -4\\ x>-4\end{array}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$, donc la droite d'équation $x=-4$ est asymptote à la courbe $C_f$.

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      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-x^2+2x+15}{x+4}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-x^2}{x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }-x=-\infty$

        Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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   2. Déterminer les réels a, b et c tels que $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x+4}}$.

      Pour tout réel $x\ne -4$, $$\begin{array}{rcl}ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x+4}}& =& {\displaystyle \frac{a{x}^2+4ax+bx+4b+c}{x+4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{a{x}^2+\left(4a+b\right)x+\left(4b+c\right)}{x+4}}\end{array}$$

      Pour tout réel $x\ne -4$, ${\displaystyle \frac{-x^2+2x+15}{x+4}}={\displaystyle \frac{a{x}^2+\left(4a+b\right)x+\left(4b+c\right)}{x+4}}$ pour a, b et c solutions du système :$$\{\begin{array}{c}a=-1\\ 4a+b=2\\ 4b+c=15\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=6\\ c=-9\end{array}$$

      Ainsi , pour tout réel x de l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=-x+6-{\displaystyle \frac{9}{x+4}}$.

      ---

   3. Montrer que la courbe $C_f$ admet une deuxième asymptote d'équation $y=-x+6$.

      Pour montrer que la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=-x+6$, on étudie, la limite en $+\infty$ de la différence : $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-\left(-x+6\right)& =& -x+6-{\displaystyle \frac{9}{x+4}}-\left(-x+6\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{9}{x+4}}\end{array}$$

      Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{9}{x+4}}=0$

      Ainsi $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left(-x+6\right)=0$ donc la droite d'équation $y=-x+6$, est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.

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   4. Tracer sur le graphique précédent, les asymptotes à la courbe $C_f$.

2. 1. Montrer que $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]-4;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2-8x-7}{{\left(x+4\right)}^2}}$.

      • Méthode 1

        La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-x+6-{\displaystyle \frac{9}{x+4}}$ donc pour tout réel x de l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ :$$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& -1+{\displaystyle \frac{9}{{\left(x+4\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-{\left(x+4\right)}^2+9}{{\left(x+4\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-x^2-8x-16+9}{{\left(x+4\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-x^2-8x-7}{{\left(x+4\right)}^2}}\end{array}$$

        Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]-4;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2-8x-7}{{\left(x+4\right)}^2}}$.

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      • Méthode 2

        La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2+2x+15}{x+4}}$

        Sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$, $x+4\ne 0$, alors la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables : $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$

        Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=-x^2+2x+15& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-2x+2\\ \text{et}& v\left(x\right)=x+4& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$$

        donc pour tout réel x de l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(-2x+2\right)\left(x+4\right)-\left(-x^2+2x+15\right)}{{\left(x+4\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-2x^2-8x+2x+8+x^2-2x-15}{{\left(x+4\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-x^2-8x-7}{{\left(x+4\right)}^2}}\end{array}$$

        Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]-4;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2-8x-7}{{\left(x+4\right)}^2}}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Pour tout réel $x>-4$, ${\left(x+4\right)}^2>0$, donc $f\prime \left(x\right)$ est du même que le polynôme $P\left(x\right)=-x^2-8x-7$ sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$.

      Étude du signe du polynôme du second degré $P\left(x\right)=-x^2-8x-7$ avec $a=-1$, $b=-8$ et $c=-7$

      $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $\mathrm{\Delta }=64-28=36$ , le polynôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{8-6}{-2}}=-1& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{8+6}{-2}}=-7\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines, nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de $f\prime$ sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$

      x	$-4$				− 1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   3. Donner le tableau complet des variations de f.

      Les variations de f se déduisent de l'étude du signe de la dérivée $f\prime$

      x	$-4$				$-1$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			$-\infty$		4		$-\infty$

      ---

      Calcul du maximum : $$f\left(-1\right)={\displaystyle \frac{-1-2+15}{-1+4}}=4$$

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-2$. La tracer sur le graphique.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse $-2$ est :$$y=f\prime \left(-2\right)\times \left(x+2\right)+f\left(-2\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(-2\right)={\displaystyle \frac{-4+16-7}{2^2}}={\displaystyle \frac{5}{4}}& \text{et}& f\left(-2\right)={\displaystyle \frac{-4-4+15}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$$

   D'où $$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{5}{4}}\times \left(x+2\right)+{\displaystyle \frac{7}{2}}& \iff & y={\displaystyle \frac{5}{4}}x+6\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse $-2$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{5}{4}}x+6$.

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