contrôle du 19 mai 2011

Exercice 1

On a tracé ci-dessous, la courbe représentative $C_f$ d'une fonction. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

partie a

1. Par lecture graphique, donner les valeurs de $f\left(-1\right)$ et de $f\prime \left(-1\right)$.

2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ . Déterminer laquelle.

   Courbe $C_1$

   Courbe $C_2$

   Courbe $C_3$

partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2+2x+15}{x+4}}$.

1. 1. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}x\to -4\\ x>-4\end{array}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$. En déduire l'existence d'une asymptote pour la courbe $C_f$.

   2. Déterminer les réels a, b et c tels que $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x+4}}$.

   3. Montrer que la courbe $C_f$ admet une deuxième asymptote d'équation $y=-x+6$.

   4. Tracer sur le graphique précédent, les asymptotes à la courbe $C_f$.

2. 1. Montrer que $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]-4;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2-8x-7}{{\left(x+4\right)}^2}}$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   3. Donner le tableau complet des variations de f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-2$. La tracer sur le graphique.

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