contrôle du 19 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :

1. $9-3x-2x^2⩾0$.

   Étudions le signe du trinôme $P\left(x\right)=-2x^2-3x+9$ avec $a=-2$, $b=-3$ et $c=9$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-4\times \left(-2\right)\times 9=81\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{3-9}{2\times \left(-2\right)}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{3+9}{2\times \left(-2\right)}}=-3\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $P\left(x\right)=-2x^2-3x+9$ avec $a<0$ :

   x	$-\infty$		$-3$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
   $P\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   L'ensemble solution de l'inéquation $9-3x-2x^2⩾0$ est $S=\left[-3;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$.

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2. $3x^2-2x-1⩾0$.

   Étudions le signe du trinôme $P\left(x\right)=3x^2-2x-1$ avec $a=3$, $b=-2$ et $c=-1$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4\times 3\times \left(-1\right)=16\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{2-4}{2\times 3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{2+4}{2\times 3}}=1\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $P\left(x\right)=3x^2-2x-1$ avec $a>0$ :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{3}}$		1		$+\infty$
   $P\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   L'ensemble solution de l'inéquation $3x^2-2x-1⩾0$ est $S=\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]\cup \left[1;+\infty \right[$.

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