contrôles en première ES

contrôle du 19 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 4

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 14 milliers d'articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction C définie pour tout x élément de l'intervalle $[0; 14]$ par $C (x) = 0,4 x^{2} + 2 x + 8,1$ La courbe représentative de la fonction C, notée $𝒞_{T}$ , est donnée en annexe ci-dessous.
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 €.

Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 7 000 articles ou fabriquer et vendre 9 000 articles ?
- Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 7 milliers d'articles :
  Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 7 milliers d'articles est $C (7) = 0,4 \times 7^{2} + 2 \times 7 + 8,1 = 41,7$
  La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 7 milliers d'articles est $R (7) = 8 \times 7 = 56$
  Or $R (7) - C (7) = 56 - 41,7 = 14,3$
  Si l'entreprise fabrique et vend 7 000 articles le bénéfice est de 14300 €.
- Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 9 milliers d'articles :
  Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 9 milliers d'articles est $C (9) = 0,4 \times 9^{2} + 2 \times 9 + 8,1 = 58,5$
  La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 9 milliers d'articles est $R (9) = 8 \times 9 = 72$
  Or $R (9) - C (9) = 72 - 58,5 = 13,5$
  Si l'entreprise fabrique et vend 9 000 articles le bénéfice est de 13500 €.
Il est plus avantageux pour l'entreprise de fabriquer et vendre 7 000 articles.
On désigne par $R (x)$ le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers d'articles. On a donc $R (x) = 8 x$ .
1. Tracer dans le repère donné en annexe, la droite 𝒟 représentative de la fonction recette.
  La courbe représentative de la fonction recette est la droite 𝒟 d'équation $y = 8 x$ passant par l'origine du repère et le point de coordonnées $(10; 80)$ .
2. Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.
  L'entreprise réalise un bénéfice positif quand les coûts de production sont inférieurs à la recette.
  Graphiquement, les solutions de l'inéquation $R (x) ⩾ C (x)$ sont les abscisses des points pour lesquels la droite 𝒟 est au dessus de la courbe $𝒞_{T}$ .
  Soit avec la précision permise par le dessin, sur l'intervalle $[1,5; 13,5]$
  L'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 1500 et 13500 articles.
Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle $[0; 14]$ par $B (x) = R (x) - C (x)$ .
1. Étudier le signe de $B (x)$ . En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
  Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle $] 0; 14]$ par : $\begin{array}{rcl} B (x) & = & 8 x - (0,4 x^{2} + 2 x + 8,1) \\ = & 8 x - 0,4 x^{2} - 2 x - 8,1 \\ = & - 0,4 x^{2} + 6 x - 8,1 \end{array}$
  Étudions le signe du trinôme $B (x) = - 0,4 x^{2} + 6 x - 8,1$ avec $a = - 0,4$ , $b = 6$ et $c = - 8,1$ .
  Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ soit $\begin{matrix} Δ = 6^{2} - 4 \times (- 0,4) \times (- 8,1) = 23,04 = {4,8}^{2} \end{matrix}$
  $Δ > 0$ donc le trinôme admet deux racines : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{1} = \frac{- 6 - 4,8}{2 \times (- 0,4)} = 13,5 \\ et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{2} = \frac{- 6 + 4,8}{2 \times (- 0,4)} = 1,5 \end{array}$
  Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $B (x) = - 0,4 x^{2} + 6 x - 8,1$ avec $a < 0$ :
  x 0 1,5 13,5 14
  $B (x)$ − $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −
  L'ensemble solution de l'inéquation $B (x) ⩾ 0$ est $S = [1,5; 13,5]$
  L'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 1500 et 13500 articles.
2. Étudier les variations de la fonction B sur $[0; 14]$ . En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.
  Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
  La fonction définie pour tout nombre réel x par $x ⟼ - 0,4 x^{2} + 6 x - 8,1$ est une fonction polynôme du second degré avec $a = - 0,4$ donc cette fonction admet un maximum atteint pour $x = - \frac{b}{2 a}$ soit $x = - \frac{6}{2 \times (- 0,4)} = 7,5$
  Par conséquent, le maximum de la fonction B sur $[0; 14]$ est : $B (7,5) = - 0,4 \times {7,5}^{2} + 6 \times 7,5 - 8,1 = 14,4$
  D'où le tableau des variations de de la fonction B :
  x 0 7,5 14
  $B (x)$
  14,4
  Le bénéfice maximal est de 14400 € obtenu pour la production et la vente de 7500 articles.

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x	0		1,5		13,5		14
$B (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−

x	0				7,5		14
$B (x)$					14,4