Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 14 milliers d'articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction C définie pour tout x élément de l'intervalle par La courbe représentative de la fonction C, notée , est donnée en annexe ci-dessous.
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 €.
Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 7 000 articles ou fabriquer et vendre 9 000 articles ?
Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 7 milliers d'articles :
Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 7 milliers d'articles est
La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 7 milliers d'articles est
Or
Si l'entreprise fabrique et vend 7 000 articles le bénéfice est de 14300 €.
Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 9 milliers d'articles :
Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 9 milliers d'articles est
La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 9 milliers d'articles est
Or
Si l'entreprise fabrique et vend 9 000 articles le bénéfice est de 13500 €.
Il est plus avantageux pour l'entreprise de fabriquer et vendre 7 000 articles.
On désigne par le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers d'articles. On a donc .
Tracer dans le repère donné en annexe, la droite 𝒟 représentative de la fonction recette.
La courbe représentative de la fonction recette est la droite 𝒟 d'équation passant par l'origine du repère et le point de coordonnées .
Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.
L'entreprise réalise un bénéfice positif quand les coûts de production sont inférieurs à la recette.
Graphiquement, les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points pour lesquels la droite 𝒟 est au dessus de la courbe .
Soit avec la précision permise par le dessin, sur l'intervalle
L'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 1500 et 13500 articles.
Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle par .
Étudier le signe de . En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle par :
Étudions le signe du trinôme avec , et .
Le discriminant du trinôme est soit
donc le trinôme admet deux racines :
Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme avec :
x | 0 | 1,5 | 13,5 | 14 | |||
− | + | − |
L'ensemble solution de l'inéquation est
L'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 1500 et 13500 articles.
Étudier les variations de la fonction B sur . En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.
Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
La fonction définie pour tout nombre réel x par est une fonction polynôme du second degré avec donc cette fonction admet un maximum atteint pour soit
Par conséquent, le maximum de la fonction B sur est :
D'où le tableau des variations de de la fonction B :
x | 0 | 7,5 | 14 | ||||
14,4 |
Le bénéfice maximal est de 14400 € obtenu pour la production et la vente de 7500 articles.
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