contrôles en première ES

contrôle du 19 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 4

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 14 milliers d'articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction C définie pour tout x élément de l'intervalle [0;14] par C(x)=0,4x2+2x+8,1La courbe représentative de la fonction C, notée 𝒞T, est donnée en annexe ci-dessous.
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 €.

  1. Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 7 000 articles ou fabriquer et vendre 9 000 articles ?

    • Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 7 milliers d'articles :

      Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 7 milliers d'articles est C(7)=0,4×72+2×7+8,1=41,7

      La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 7 milliers d'articles est R(7)=8×7=56

      Or R(7)-C(7)=56-41,7=14,3

      Si l'entreprise fabrique et vend 7 000 articles le bénéfice est de 14300 €.

    • Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 9 milliers d'articles :

      Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 9 milliers d'articles est C(9)=0,4×92+2×9+8,1=58,5

      La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 9 milliers d'articles est R(9)=8×9=72

      Or R(9)-C(9)=72-58,5=13,5

      Si l'entreprise fabrique et vend 9 000 articles le bénéfice est de 13500 €.

    Il est plus avantageux pour l'entreprise de fabriquer et vendre 7 000 articles.


  2. On désigne par R(x) le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers d'articles. On a donc R(x)=8x.

    1. Tracer dans le repère donné en annexe, la droite 𝒟 représentative de la fonction recette.

      La courbe représentative de la fonction recette est la droite 𝒟 d'équation y=8x passant par l'origine du repère et le point de coordonnées (10;80).

      Courbe représentative de la fonction coût : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.

      L'entreprise réalise un bénéfice positif quand les coûts de production sont inférieurs à la recette.
      Graphiquement, les solutions de l'inéquation R(x)C(x) sont les abscisses des points pour lesquels la droite 𝒟 est au dessus de la courbe 𝒞T.
      Soit avec la précision permise par le dessin, sur l'intervalle [1,5;13,5]

      L'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 1500 et 13500 articles.


  3. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [0;14] par B(x)=R(x)-C(x).

    1. Étudier le signe de B(x). En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).

      Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle ]0;14] par : B(x)=8x-(0,4x2+2x+8,1)=8x-0,4x2-2x-8,1=-0,4x2+6x-8,1

      Étudions le signe du trinôme B(x)=-0,4x2+6x-8,1 avec a=-0,4, b=6 et c=-8,1.

      Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac soit Δ=62-4×(-0,4)×(-8,1)=23,04=4,82

      Δ>0 donc le trinôme admet deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=-6-4,82×(-0,4)=13,5etx2=-b+Δ2aSoitx2=-6+4,82×(-0,4)=1,5

      Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme B(x)=-0,4x2+6x-8,1 avec a<0 :

      x0 1,5 13,5 14
      B(x) 0||+0|| 

      L'ensemble solution de l'inéquation B(x)0 est S=[1,5;13,5]

      L'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 1500 et 13500 articles.


    2. Étudier les variations de la fonction B sur [0;14]. En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.
      Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?

      La fonction définie pour tout nombre réel x par x-0,4x2+6x-8,1 est une fonction polynôme du second degré avec a=-0,4 donc cette fonction admet un maximum atteint pour x=-b2a soit x=-62×(-0,4)=7,5

      Par conséquent, le maximum de la fonction B sur [0;14] est : B(7,5)=-0,4×7,52+6×7,5-8,1=14,4

      D'où le tableau des variations de de la fonction B :

      x07,514
      B(x)fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      14,4

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Le bénéfice maximal est de 14400 € obtenu pour la production et la vente de 7500 articles.



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