contrôles en première ES

contrôle du 19 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=3x2-2x-10. On note 𝒞f sa courbe représentative.
On considère la droite 𝒟 représentative de la fonction affine g définie pour tout réel x par g(x)=2x+5.

Sur quel(s) intervalle(s) la courbe 𝒞f est en dessous de la droite 𝒟 ?

Les positions relatives des deux courbes se déduisent du signe de f(x)-g(x).

Pour tout réel x, f(x)-g(x)=3x2-2x-10-(2x+5)=3x2-2x-10-2x-5=3x2-4x-15

Étudions le signe du trinôme f(x)-g(x)=3x2-4x-15 avec a=3, b=-4 et c=-15.

Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac soit Δ=(-4)2-4×3×(-15)=196

Δ>0 donc le trinôme admet deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=4-142×3=-53etx2=-b+Δ2aSoitx2=4+142×3=3

Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme f(x)-g(x)=3x2-4x-15 avec a>0 :

x- -53 3 +
f(x)-g(x) +0||0||+ 

La parabole 𝒞f est en dessous de la droite 𝒟 sur l'intervalle [-53;3].



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