contrôle du 19 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=3x^2-2x-10$. On note ${𝒞}_f$ sa courbe représentative.
On considère la droite 𝒟 représentative de la fonction affine g définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=2x+5$.

Sur quel(s) intervalle(s) la courbe ${𝒞}_f$ est en dessous de la droite 𝒟 ?

Les positions relatives des deux courbes se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& 3x^2-2x-10-\left(2x+5\right)\\ & =& 3x^2-2x-10-2x-5\\ & =& 3x^2-4x-15\end{array}$$

Étudions le signe du trinôme $f\left(x\right)-g\left(x\right)=3x^2-4x-15$ avec $a=3$, $b=-4$ et $c=-15$.

Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-4\right)}^2-4\times 3\times \left(-15\right)=196\end{array}$$

$\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{4-14}{2\times 3}}=-{\displaystyle \frac{5}{3}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{4+14}{2\times 3}}=3\end{array}$$

Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $f\left(x\right)-g\left(x\right)=3x^2-4x-15$ avec $a>0$ :

x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{5}{3}}$		3		$+\infty$
$f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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La parabole ${𝒞}_f$ est en dessous de la droite 𝒟 sur l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{5}{3}};3\right]$.

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