cours première ES

Probabilités

III - Loi binomiale

Dans ce paragraphe, on étudie la répétition d'expériences identiques et indépendantes :

Cela signifie que les conditions dans lesquelles on répète l'expérience sont les mêmes. Par exemple, les tirages d'objets se font « avec remise » de l'objet tiré après chaque tirage.
Cela signifie aussi que le résultat d'une expérience n'a aucune influence sur le résultat de l'expérience suivante.

1 - Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues, l'une appelée « succès » de probabilité p et l'autre appelée « échec » de probabilité $q = 1 - p$ .

2 - Loi binomiale

En répétant n fois la même expérience de Bernoulli, on obtient une nouvelle expérience aléatoire qui possède $2^{n}$ issues.

L'expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p de manière indépendante est appelée un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire associée au nombre de succès obtenus au cours de n épreuves de ce schéma de Bernoulli est appelée la loi binomiale de paramètres n et p notée $ℬ (n, p)$ .

cas simples

Dans le cas où $n = 2$ ou $n = 3$ , on peut modéliser la situation à l'aide d'un arbre.

Cas $n = 2$
On répète deux fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p successivement et de façon indépendante.
L'expérience comporte $2^{2} = 4$ issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l'aide d'un mot de deux lettres : $\{S S; S \bar{S}; \bar{S} S; \bar{S} \bar{S}\}$ .
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès. X suit la loi binomiale $ℬ (2, p)$ de paramètres $n = 2$ et p :
Nombre de succès k 0 1 2
$P (X = k)$ $q^{2}$ $2 \times p \times q$ $p^{2}$
Cas $n = 3$
On répète trois fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p successivement et de façon indépendante.
L'expérience comporte $2^{3} = 8$ issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l'aide d'un mot de trois lettres : $\{S S S; S S \bar{S}; S \bar{S} S; S \bar{S} \bar{S}; \bar{S} S S; \bar{S} S \bar{S}; \bar{S} \bar{S} S; \bar{S} \bar{S} \bar{S}\}$ .
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès. X suit la loi binomiale $ℬ (3, p)$ de paramètres $n = 3$ et p :
Nombre de succès k 0 1 2 3
$P (X = k)$ $q^{3}$ $3 \times p \times q^{2}$ $3 \times p^{2} \times q$ $p^{3}$

exemple

On répète tois fois l'expérience suivante : « tirer au hasard, une carte d’un jeu de 32 cartes, noter sa valeur, remettre la carte dans le paquet et mélanger »

Quelle est la probabilité qu'au cours de ces trois tirages, on obtienne un as ?
Notons S l'évènement « la carte tirée est un as ». Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès S de probabilité $p (S) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ .
On a donc la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
La variable aléatoire X qui associe le nombre d'as obtenus suit la loi binomiale $ℬ (3, \frac{1}{8})$ de paramètres $n = 3$ et $p = \frac{1}{8}$ .
La probabilité d'obtenir un as est $P (X = 1) = 3 \times \frac{1}{8} \times {(\frac{7}{8})}^{2} = \frac{147}{512}$ .
Quelle est la probabilité qu'au cours de ces trois tirages, on obtienne au moins un as ?
L'évènement « obtenir au moins un as » est l'évènement contraire de l'évènement « ne pas obtenir d'as ». D'où $P (X ⩾ 1) = 1 - P (X = 0)$ .
La probabilité d'obtenir au moins un as est $P (X ⩾ 1) = 1 - {(\frac{7}{8})}^{3} = \frac{169}{512}$ .

coefficients binomiaux

Soit n un entier naturel non nul et k un entier tel que $0 ⩽ k ⩽ n$ . On répète successivement n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On appelle coefficient binomial et on note $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ le nombre d'issues réalisant k succès parmi les n épreuves de Bernoulli répétées.

remarque

Si on représente par un arbre une série de n épreuves de Bernoulli, le coefficient binomial $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ , est le nombre de chemins réalisant k succès parmi n épreuves répétées.

Dans l'exemple précédent où on répète trois expériences de Bernoulli :

il y a $(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) = 1$ issue pour laquelle il y a zéro succès ;
il y a $(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = 3$ issues pour lesquelles il y a un succès ;
il y a $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) = 3$ issues pour lesquelles il y a deux succès ;
il y a $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) = 1$ issue pour laquelle il y a trois succès ;

formule générale de la loi binomiale

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale $ℬ (n, p)$ de paramètres n et p. Pour tout entier k tel que $0 ⩽ k ⩽ n$ : $P (X = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$

Remarque :

La formule $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ permettant de calculer explicitement les valeurs des coefficients binomiaux n'étant pas au programme du lycée on retiendra :

Un seule issue permet d'obtenir 0 succès ou n succès consécutifs : $(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) = 1$ et $(\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 1$ .
Il y a n issues différentes qui permettent d'obtenir un seul succès : $(\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) = n$ .

Les calculatrices permettent de calculer les coefficients binomiaux dans les autres cas.

propriétés

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale $ℬ (n, p)$ de paramètres n et p.
Pour tout entier k tel que $0 ⩽ k ⩽ n$ :

$P (X ⩽ k) = 1 - P (X > k)$
$P (X ⩾ k) = 1 - P (X < k)$

En particulier $P (X ⩾ 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - q^{n}$ où $q = 1 - p$ .

Espérance et écart-type de la loi binomiale

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale $ℬ (n, p)$ de paramètres n et p.
L'espérance de X est $E (X) = n p$ , l'écart-type de X est $σ (X) = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

exemple

Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 % des clients choisissent l'option « Livraison Express ».
On prélève au hasard 30 bons de commande. On considère que le nombre de bons de commande est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons.
On note X la variable aléatoire qui associe le nombre de bons portant la mention « Livraison Express ».

Calculer l'espérance mathématique $E (X)$ , interpréter le résultat.
On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons donc X suit la loi binomiale $ℬ (30, 0,4)$ de paramètres $n = 30$ et $p = 0,4$ . $E (X) = 30 \times 0,4 = 12$
Sur un grand nombre de prélèvements de 30 bons on trouve en moyenne 12 bons de commande avec la mention « Livraison Express ».
Déterminer la probabilité, arrondie au millième près, que 13 bons de commande portent la mention « Livraison Express ».
À l'aide de la calculatrice, on calcule $P (X = 13) = (\begin{matrix} 30 \\ 13 \end{matrix}) \times {0,4}^{13} \times {0,6}^{17} \approx 0,136$
La probabilité que 13 bons portent la mention « Livraison Express » est d'environ 0,136.
Quel est l'évènement le plus probable : l'évènement A « au moins 12 bons de commande portent la mention "Livraison Express" » ou l'évènement B « au plus 12 bons de commande portent la mention "Livraison Express" » ?
À l'aide des fonctions de distribution de probabilités de la calculatrice, on obtient : $\begin{array}{ll} Évènement A : & P (X ⩾ 12) = 1 - P (X ⩽ 11) \approx 0,569 \\ Évènement B : & P (X ⩽ 12) \approx 0,578 \end{array}$
Dans un tel lot, c'est l'évènement B « au plus 12 bons de commande portent la mention "Livraison Express" » qui est le plus probable.

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Nombre de succès k	0	1	2
$P (X = k)$	$q^{2}$	$2 \times p \times q$	$p^{2}$

Nombre de succès k	0	1	2	3
$P (X = k)$	$q^{3}$	$3 \times p \times q^{2}$	$3 \times p^{2} \times q$	$p^{3}$