cours première ES

Probabilités

III - Loi binomiale

Dans ce paragraphe, on étudie la répétition d'expériences identiques et indépendantes :

1 - Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues, l'une appelée « succès » de probabilité p et l'autre appelée « échec » de probabilité q=1-p.

2 - Loi binomiale

En répétant n fois la même expérience de Bernoulli, on obtient une nouvelle expérience aléatoire qui possède 2n issues.

L'expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p de manière indépendante est appelée un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire associée au nombre de succès obtenus au cours de n épreuves de ce schéma de Bernoulli est appelée la loi binomiale de paramètres n et p notée np.


cas simples

Dans le cas où n=2 ou n=3, on peut modéliser la situation à l'aide d'un arbre.

  1. Cas n=2

    On répète deux fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p successivement et de façon indépendante.

    L'expérience comporte 22=4 issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l'aide d'un mot de deux lettres :SSSS¯S¯SS¯S¯.

    Schéma de Bernoulli : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès. X suit la loi binomiale 2p de paramètres n=2 et p :

    Nombre de succès k  012
    PX=kq22×p×qp2
  2. Cas n=3

    On répète trois fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p successivement et de façon indépendante.

    L'expérience comporte 23=8 issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l'aide d'un mot de trois lettres :SSSSSS¯SS¯SSS¯S¯S¯SSS¯SS¯S¯S¯SS¯S¯S¯.

    Schéma de Bernoulli : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès. X suit la loi binomiale 3p de paramètres n=3 et p :

    Nombre de succès k  0123
    PX=kq33×p×q23×p2×qp3

exemple

On répète tois fois l'expérience suivante : « tirer au hasard, une carte d’un jeu de 32 cartes, noter sa valeur, remettre la carte dans le paquet et mélanger »

  1. Quelle est la probabilité qu'au cours de ces trois tirages, on obtienne un as ?

    Notons S l'évènement « la carte tirée est un as ». Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès S de probabilité pS=432=18.

    On a donc la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

    La variable aléatoire X qui associe le nombre d'as obtenus suit la loi binomiale 318 de paramètres n=3 et p=18.

    La probabilité d'obtenir un as est PX=1=3×18×782=147512.


  2. Quelle est la probabilité qu'au cours de ces trois tirages, on obtienne au moins un as ?

    L'évènement « obtenir au moins un as » est l'évènement contraire de l'évènement « ne pas obtenir d'as ». D'où PX1=1-PX=0.

    La probabilité d'obtenir au moins un as est PX1=1-783=169512.


coefficients binomiaux

Soit n un entier naturel non nul et k un entier tel que 0kn. On répète successivement n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On appelle coefficient binomial et on note nk le nombre d'issues réalisant k succès parmi les n épreuves de Bernoulli répétées.

remarque

Si on représente par un arbre une série de n épreuves de Bernoulli, le coefficient binomial nk, est le nombre de chemins réalisant k succès parmi n épreuves répétées.

Dans l'exemple précédent où on répète trois expériences de Bernoulli :

formule générale de la loi binomiale

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale np de paramètres n et p. Pour tout entier k tel que 0kn :PX=k=nkpk1-pn-k

Remarque :

La formule nk=n!k!n-k! permettant de calculer explicitement les valeurs des coefficients binomiaux n'étant pas au programme du lycée on retiendra :

Les calculatrices permettent de calculer les coefficients binomiaux dans les autres cas.

propriétés

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale np de paramètres n et p.
Pour tout entier k tel que 0kn :

  • PXk=1-PX>k
  • PXk=1-PX<k

En particulier PX1=1-PX=0=1-qnq=1-p.

Espérance et écart-type de la loi binomiale

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale np de paramètres n et p.
L'espérance de X est EX=np, l'écart-type de X est σX=np1-p.

exemple

Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 % des clients choisissent l'option « Livraison Express ».
On prélève au hasard 30 bons de commande. On considère que le nombre de bons de commande est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons.
On note X la variable aléatoire qui associe le nombre de bons portant la mention « Livraison Express ».

  1. Calculer l'espérance mathématique EX, interpréter le résultat.

    On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons donc X suit la loi binomiale 300,4 de paramètres n=30 et p=0,4. EX=30×0,4=12

    Sur un grand nombre de prélèvements de 30 bons on trouve en moyenne 12 bons de commande avec la mention « Livraison Express ».


  2. Déterminer la probabilité, arrondie au millième près, que 13 bons de commande portent la mention « Livraison Express ».

    À l'aide de la calculatrice, on calcule PX=13=3013×0,413×0,6170,136

    La probabilité que 13 bons portent la mention « Livraison Express » est d'environ 0,136.


  3. Quel est l'évènement le plus probable : l'évènement A « au moins 12 bons de commande portent la mention "Livraison Express" » ou l'évènement B « au plus 12 bons de commande portent la mention "Livraison Express" » ?

    À l'aide des fonctions de distribution de probabilités de la calculatrice, on obtient :ÉvènementA:PX12=1-PX110,569ÉvènementB:PX120,578

    Dans un tel lot, c'est l'évènement B « au plus 12 bons de commande portent la mention "Livraison Express" » qui est le plus probable.



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