Dans ce paragraphe, on étudie la répétition d'expériences identiques et indépendantes :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues, l'une appelée « succès » de probabilité p et l'autre appelée « échec » de probabilité .
En répétant n fois la même expérience de Bernoulli, on obtient une nouvelle expérience aléatoire qui possède issues.
L'expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p de manière indépendante est appelée un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire associée au nombre de succès obtenus au cours de n épreuves de ce schéma de Bernoulli est appelée la loi binomiale de paramètres n et p notée .
Dans le cas où ou , on peut modéliser la situation à l'aide d'un arbre.
Cas
On répète deux fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p successivement et de façon indépendante.
L'expérience comporte issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l'aide d'un mot de deux lettres :.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès. X suit la loi binomiale de paramètres et p :
Nombre de succès k | 0 | 1 | 2 |
Cas
On répète trois fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p successivement et de façon indépendante.
L'expérience comporte issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l'aide d'un mot de trois lettres :.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès. X suit la loi binomiale de paramètres et p :
Nombre de succès k | 0 | 1 | 2 | 3 |
exemple
On répète tois fois l'expérience suivante : « tirer au hasard, une carte d’un jeu de 32 cartes, noter sa valeur, remettre la carte dans le paquet et mélanger »
Quelle est la probabilité qu'au cours de ces trois tirages, on obtienne un as ?
Notons S l'évènement « la carte tirée est un as ». Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès S de probabilité .
On a donc la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
La variable aléatoire X qui associe le nombre d'as obtenus suit la loi binomiale de paramètres et .
La probabilité d'obtenir un as est .
Quelle est la probabilité qu'au cours de ces trois tirages, on obtienne au moins un as ?
L'évènement « obtenir au moins un as » est l'évènement contraire de l'évènement « ne pas obtenir d'as ». D'où .
La probabilité d'obtenir au moins un as est .
Soit n un entier naturel non nul et k un entier tel que . On répète successivement n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On appelle coefficient binomial et on note le nombre d'issues réalisant k succès parmi les n épreuves de Bernoulli répétées.
remarque
Si on représente par un arbre une série de n épreuves de Bernoulli, le coefficient binomial , est le nombre de chemins réalisant k succès parmi n épreuves répétées.
Dans l'exemple précédent où on répète trois expériences de Bernoulli :
Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p. Pour tout entier k tel que :
Remarque :
La formule permettant de calculer explicitement les valeurs des coefficients binomiaux n'étant pas au programme du lycée on retiendra :
Les calculatrices permettent de calculer les coefficients binomiaux dans les autres cas.
Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.
Pour tout entier k tel que :
En particulier où .
Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.
L'espérance de X est , l'écart-type de X est .
exemple
Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 % des clients choisissent l'option « Livraison Express ».
On prélève au hasard 30 bons de commande. On considère que le nombre de bons de commande est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons.
On note X la variable aléatoire qui associe le nombre de bons portant la mention « Livraison Express ».
Calculer l'espérance mathématique , interpréter le résultat.
On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons donc X suit la loi binomiale de paramètres et .
Sur un grand nombre de prélèvements de 30 bons on trouve en moyenne 12 bons de commande avec la mention « Livraison Express ».
Déterminer la probabilité, arrondie au millième près, que 13 bons de commande portent la mention « Livraison Express ».
À l'aide de la calculatrice, on calcule
La probabilité que 13 bons portent la mention « Livraison Express » est d'environ 0,136.
Quel est l'évènement le plus probable : l'évènement A « au moins 12 bons de commande portent la mention "Livraison Express" » ou l'évènement B « au plus 12 bons de commande portent la mention "Livraison Express" » ?
À l'aide des fonctions de distribution de probabilités de la calculatrice, on obtient :
Dans un tel lot, c'est l'évènement B « au plus 12 bons de commande portent la mention "Livraison Express" » qui est le plus probable.
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