cours première ES

Probabilités

II - Variable aléatoire discrète

Il arrive souvent qu'à chaque résultat d'une expérience aléatoire on associe un nombre réel. On définit ainsi une fonction de l'univers Ω dans $ℝ$ .
Par exemple le gain obtenu à l'occasion d'un jeu de hasard ou encore le temps d'attente d'un bus.
En première, on ne considère que le cas où Ω est un univers fini.

1 - définition

Soit Ω l'univers d'une expérience aléaroire de n éventualités.

On appelle variable aléatoire X sur l'ensemble Ω toute fonction qui à chaque issue de Ω associe un nombre réel.
L'évènement « $X = k$ » est l'ensemble des issues de Ω qui ont pour image le réel k par X.

exemple

On lance à trois reprises une pièce bien équilibrée et on note le résultat à l'aide d'un mot de trois lettres. L'univers associé à cette expérience est : $Ω = {PPP; PPF; PFP; FPP; PFF; FPF; FFP; FFF}$

On définit une variable aléatoire X en associant à chaque éventualité de l'univers Ω le nombre de « pile ».
- La variable X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3.
  L'image de PPP est $X (PPP) = 3$ , l'image de PFP est $X (PFP) = 2$ .
- L'évènement « $X = 2$ » est constitué des issues ${PPF; PFP; FPP}$ .
- L'évènement « $X < 2$ » est constitué des issues ${PFF; FPF; FFP; FFF}$ .
On définit une variable aléatoire Y avec la règle de jeu suivante : un joueur gagne 8 € s'il obtient trois « pile » successifs, il ne gagne rien s'il obtient deux « pile » et il perd 2 € dans tous les autres cas.
- La variable Y peut prendre les valeurs $- 2$ , 0 ou 8.
  L'image de PPP est $Y (PPP) = 8$ , l'image de PFF est $Y (PFF) = - 2$ .
- L'évènement « $Y = - 2$ » est constitué des issues .
- L'évènement « $Y ⩾ 0$ » est constitué des issues ${PPP; PPF; PFP; FPP}$ .

2 - loi de probabilité d'une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω, qui prend les valeurs ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}}$ .
Lorsque, à chaque valeur $x_{i}$ , on associe la probabilité de l'évènement « $X = x_{i}$ », notée $p (X = x_{i})$ , on définit une loi de probabilité sur l'ensemble ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}}$ , appelée la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

exemple

On considère la règle de jeu suivante :
Après avoir lancé deux dés cubiques équilibrés, un joueur gagne 10 € s'il obtient un double six, il gagne 3 € si la somme des nombres est un nombre impair, sinon le joueur perd 5 €.

On considère l'expérience aléatoire suivante : on lance deux dés cubiques équilibrés et on fait la somme des nombres obtenus.
L'univers de cette expérience est $Ω = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}$ . La loi de probabilité définie sur Ω est :

Issues	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Probabilités	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

Soit X la variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs ${- 5; 3; 10}$ .

L'évènement $(X = 10)$ est constitué de l'issue {12} donc $p (X = 10) = \frac{1}{36}$ .
L'évènement $(X = 10)$ est constitué des issues $Ω = {3; 5; 7; 9; 11; 12}$ d'où $p (X = 3) = \frac{2}{36} + \frac{6}{36} + \frac{4}{36} + \frac{2}{36} = \frac{1}{2}$ .
Comme $p (X = - 5) + p (X = 3) + p (X = 10) = 1$ , on en déduit que : $p (X = - 5) = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{36} = \frac{17}{36}$

D'où la loi de probabilité de X :

$x_{i}$	$- 5$	3	10
$p (X = x_{i})$	$\frac{17}{36}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{36}$

3 - Espérance mathématique

Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}}$ de loi de probabilité :

X	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{k}$
$p (X = x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	…	$p_{k}$

On appelle espérance mathématique de X notée $E (X)$ , le réel : $\begin{array}{rcl} E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \times p (X = x_{i}) & = & x_{1} \times p (X = x_{1}) + x_{2} \times p (X = x_{2}) + \dots + x_{k} \times p (X = x_{k}) \\ = & x_{1} \times p_{1} + x_{2} \times p_{2} + \dots + x_{k} \times p_{k} \end{array}$

remarques

L'espérance $E (X)$ apparaît comme la moyenne arithmétique (au sens statistique du terme) des valeurs $x_{i}$ affectées des fréquences $p_{i} = p (X = x_{i})$ .
Dans le cas particulier d'un jeu, l'espérance $E (X)$ est le gain moyen par partie qu'un joueur peut espérer obtenir s'il joue un grand nombre de fois.
Le signe de $E (X)$ permet de savoir si le joueur a plus de chances de gagner que de perdre.
Si $E (X) = 0$ , on dit que le jeu est équitable.

exemple

Dans l'exemple précédent, la loi de probabilité de X est :

$x_{i}$	$- 5$	3	10
$p (X = x_{i})$	$\frac{17}{36}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{36}$

L'espérance mathématique de X est donc : $E (X) = - 5 \times \frac{17}{36} + 3 \times \frac{1}{2} + 10 \times \frac{1}{36} = - \frac{7}{12}$ L'espérance mathématique $E (X) < 0$ donc le jeu est défavorable au joueur.

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