cours première ES

Probabilités

II - Variable aléatoire discrète

Il arrive souvent qu'à chaque résultat d'une expérience aléatoire on associe un nombre réel. On définit ainsi une fonction de l'univers Ω dans .
Par exemple le gain obtenu à l'occasion d'un jeu de hasard ou encore le temps d'attente d'un bus.
En première, on ne considère que le cas où Ω est un univers fini.

1 - définition

Soit Ω l'univers d'une expérience aléaroire de n éventualités.

  • On appelle variable aléatoire X sur l'ensemble Ω toute fonction qui à chaque issue de Ω associe un nombre réel.
  • L'évènement « X=k » est l'ensemble des issues de Ω qui ont pour image le réel k par X.

exemple

On lance à trois reprises une pièce bien équilibrée et on note le résultat à l'aide d'un mot de trois lettres. L'univers associé à cette expérience est :Ω=PPPPPFPFPFPPPFFFPFFFPFFF

  1. On définit une variable aléatoire X en associant à chaque éventualité de l'univers Ω le nombre de « pile ».

    • La variable X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3.
      L'image de PPP est XPPP=3, l'image de PFP est XPFP=2.
    • L'évènement « X=2 » est constitué des issues PPFPFPFPP.
    • L'évènement « X<2 » est constitué des issues PFFFPFFFPFFF.
  2. On définit une variable aléatoire Y avec la règle de jeu suivante : un joueur gagne 8 € s'il obtient trois « pile » successifs, il ne gagne rien s'il obtient deux « pile » et il perd 2 € dans tous les autres cas.

    • La variable Y peut prendre les valeurs -2, 0 ou 8.
      L'image de PPP est YPPP=8, l'image de PFF est YPFF=-2.
    • L'évènement « Y=-2 » est constitué des issues PFFFPFFFPFFF.
    • L'évènement « Y0 » est constitué des issues PPPPPFPFPFPP.

2 - loi de probabilité d'une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω, qui prend les valeurs x1x2xk.
Lorsque, à chaque valeur xi, on associe la probabilité de l'évènement « X=xi », notée pX=xi, on définit une loi de probabilité sur l'ensemble x1x2xk, appelée la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

exemple

On considère la règle de jeu suivante :
Après avoir lancé deux dés cubiques équilibrés, un joueur gagne 10 € s'il obtient un double six, il gagne 3 € si la somme des nombres est un nombre impair, sinon le joueur perd 5 €.

On considère l'expérience aléatoire suivante : on lance deux dés cubiques équilibrés et on fait la somme des nombres obtenus.
L'univers de cette expérience est Ω=23456789101112. La loi de probabilité définie sur Ω est :

Issues23456789101112
Probabilités136236336436536636536436336236136

Soit X la variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs -5310.

D'où la loi de probabilité de X :

xi-5310
pX=xi173612136

3 - Espérance mathématique

Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs x1x2xk de loi de probabilité :

Xx1x2xk
pX=xip1p2pk

On appelle espérance mathématique de X notée EX, le réel : EX=i=1kxi×pX=xi=x1×pX=x1+x2×pX=x2++xk×pX=xk=x1×p1+x2×p2++xk×pk

remarques

exemple

Dans l'exemple précédent, la loi de probabilité de X est :

xi-5310
pX=xi173612136

L'espérance mathématique de X est donc : EX=-5×1736+3×12+10×136=-712 L'espérance mathématique EX<0 donc le jeu est défavorable au joueur.


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