Probabilités

IV - Échantillonnage

On appelle échantillonnage, le prélèvement d'un échantillon de taille n au sein de la population.

On s'intéresse à un caractère de proportion p connue au sein d'une population.

Si l'échantillon est réalisé par prélèvement des éléments de manière aléatoire avec remise, alors le nombre d'éléments de l'échantillon possédant le caractère étudié suit une loi binomiale $ℬ\left(n,p\right)$ de paramètres n et p.
En pratique, si l'effectif de la population est très grand par rapport à l'effectif n de l'échantillon on considère que le tirage des éléments de l'échantillon s'effectue avec remise.

1 - Intervalle de fluctuation à 95 % d'une fréquence correspondant à une loi binomiale

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remarque

Lorsque $n⩾25$ et $\mathrm{0,2}⩽p⩽\mathrm{0,8}$, l'intervalle $\left[p-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};p+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ est une approximation acceptable de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

exemple

On considère une population pour laquelle la proportion d'un caractère C est $p=\mathrm{0,28}$.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de taille $n=100$. La variable aléatoire X associée au nombre d'individus ayant le caractère C au sein de l'échantillon, suit la loi binomiale $ℬ\left(300;\mathrm{0,28}\right)$ de paramètres $n=100$ et $p=\mathrm{0,28}$.

On a ci-dessous, un extrait du tableau des probabilités cumulées $P\left(X⩽k\right)$ de la loi binomiale $ℬ\left(300;\mathrm{0,28}\right)$.

k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$
14	0,0007	20	0,044	26	0,3748	32	0,842	38	0,9887
15	0,0017	21	0,0709	27	0,4622	33	0,8884	39	0,9936
16	0,0037	22	0,1085	28	0,5507	34	0,924	40	0,9965
17	0,0075	23	0,158	29	0,6362	35	0,9501	41	0,9982
18	0,0144	24	0,2198	30	0,7149	36	0,9684	42	0,9991
19	0,0259	25	0,2929	31	0,784	37	0,9807	43	0,9995

• Le plus petit entier a tel que $P\left(X⩽a\right)>\mathrm{0,025}$ est $a=19$.
• Le plus petit entier b tel que $P\left(X⩽b\right)⩾\mathrm{0,975}$ est $b=37$.
• On a alors $P\left(19⩽X⩽37\right)=P\left(X⩽37\right)-P\left(X⩽18\right)\approx \mathrm{0,966}$ soit $P\left(19⩽X⩽37\right)⩾\mathrm{0,95}$.

L'intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence du nombre d'individus ayant le caractère C au sein d'un échantillon de taille 100 correspondant à la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale $ℬ\left(n,p\right)$ est donc l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{19}{100}};{\displaystyle \frac{37}{100}}\right]=\left[\mathrm{0,19};\mathrm{0,37}\right]$.

2 - Prise de décision

On formule l'hypothèse que la proportion d'un caractère dans la population est p.

Pour valider cette hypothèse, on prélève au hasard dans la population un échantillon de taille n et on note f la fréquence observée du caractère étudié.

Si l'effectif de la population est suffisamment grand par rapport à l'effectif n de l'échantillon on considère que la variable aléatoire X associée au nombre d'éléments ayant le caractère étudié au sein de l'échantillon, suit la loi binomiale $ℬ\left(n,p\right)$ de paramètres n et p.

On détermine l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{a}{n}};{\displaystyle \frac{b}{n}}\right]$ de fluctuation à 95 % d'une fréquence correspondant à la variable aléatoire X qui permet de fixer le seuil de décision :

• Si la fréquence observée f appartient à l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{a}{n}};{\displaystyle \frac{b}{n}}\right]$, on accepte l'hypothèse selon laquelle la proportion est p dans la population au seuil de 95 %.
• Si la fréquence observée f n'appartient pas à l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{a}{n}};{\displaystyle \frac{b}{n}}\right]$, on rejette l'hypothèse selon laquelle la proportion est p dans la population avec un risque d'erreur de 5 %.

exemple

Selon une publication de l'INSEE, 28 % des ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

1. On interroge un échantillon de 100 ménages choisis au hasard, et on constate que dans cet échantillon 35 % des ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.
   Cet échantillon est-il représentatif de la population ?

   L'intervalle de fluctuation à 95 % associé à la loi binomiale $ℬ\left(300;\mathrm{0,28}\right)$ calculé précédemment est $\left[\mathrm{0,19};\mathrm{0,37}\right]$.

   La fréquence observée des ménages comprenant une famille avec au moins un enfant mineur dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{35}{100}}=\mathrm{0,35}$.

   La fréquence observée f appartient à l'intervalle $\left[\mathrm{0,19};\mathrm{0,37}\right]$ par conséquent, on considère que l'échantillon est représentatif de la population.

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2. On interroge au hasard 300 ménages qui résident dans le même arrondissement d'une grande agglomération, et on constate également que 35 % de ces ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.
   Cet échantillon est-il représentatif de la population ?

   On détermine l'intervalle de fluctuation à 95 % associé à la loi binomiale $ℬ\left(300;\mathrm{0,28}\right)$ de paramètres $n=300$ et $p=\mathrm{0,28}$.

   • Le plus petit entier a tel que $P\left(X⩽a\right)>\mathrm{0,025}$ est $a=69$.
   • Le plus petit entier b tel que $P\left(X⩽b\right)⩾\mathrm{0,975}$ est $b=99$.

   L'intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence du nombre de ménages comprenant une famille avec au moins un enfant mineur dans un échantillon de taille 300 est donc l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{69}{300}};{\displaystyle \frac{99}{300}}\right]=\left[\mathrm{0,23};\mathrm{0,33}\right]$.

   La fréquence $f=\mathrm{0,35}$ des ménages comprenant une famille avec au moins un enfant mineur dans l'échantillon n'appartient pas à l'intervalle $\left[\mathrm{0,23};\mathrm{0,33}\right]$ par conséquent, on considère que cet échantillon n'est pas représentatif de la population.

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remarque

Avec cette règle, la fluctuation d'échantillonnage amène à rejeter, à tort, environ 5 % des échantillons qui suivent le modèle de Bernoulli et qui ne sont pas l'intervalle de fluctuation.
On peut l'observer avec la simulation ci-dessous de 80 échantillons de taille 100 suivant la loi binomiale $ℬ\left(300;\mathrm{0,28}\right)$.

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