cours première ES

Suites

I - Suites numériques

1 - Définition

Une suite réelle u est une fonction de l'ensemble des entiers naturels (ou d'une partie de ) dans .
On note u=unn ; un est le terme d'indice n de la suite.

Dans la notation d'une suite, on peut préciser le rang à partir duquel la suite est définie.

2 - Modes de génération d'une suite

Une suite peut être définie :

  1. De façon explicite en exprimant le terme général un en fonction de n à l'aide d'une formule.
    On peut calculer n'importe quel terme de la suite à partir de son indice n. Par exemple :

    Pour tout entier naturel n, un=n+-1nn+1 définit la suite un=10112123134.
    u24=24+-12424+1=1 et u41=41+-14141+1=2021

  2. Par une formule de récurrence en exprimant un terme en fonction des termes qui le précèdent, et en donnant le(s) premier(s) terme(s).
    Dans ce cas pour calculer le terme de rang n, il est nécessaire de calculer tous les termes qui le précèdent. Par exemple :

    La suite un définie par u0=17 et pour tout entier naturel n, un+1={un2sinest pair3un+12sinest impair

    Pour calculer u5 nous devons d'abord calculer les termes u1=3×17+12=26, u2=262=13, u3=3×13+12=20, u4=202=10, d'où u5=102=5.

    Remarque u6=3×5+12=8, u7=82=4, u8=42=2, u9=22=1, u10=3×1+12=2, on en déduit que un=17261320105842121.

  3. Par tout autre moyen, procédé aléatoire, algorithme etc. Par exemple, la suite des décimales de π1459265358979323846264338327.

2 - Représentation graphique

Dans le plan muni d'un repère Oıȷ, la représentation graphique d'une suite un est le nuage de points Mnun.


Cas d'une suite définie de façon explicite

exemple

Soit un la suite définie pour tout entier naturel n par un=108n2-8,5n+36.

Calculons les premiers termes de la suite :

n0123 4567
un372191082372136216373677217

La représentation graphique de la suite un est l'ensemble des points M003, M117219, M2210823 etc.

Suite explicite: L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Graphiquement, les termes de la suite un sont les ordonnées des points d'abscisses entières de la courbe 𝒞f représentative de la fonction f définie sur 0+ par fx=108x2-8,5x+36.

Cas d'une suite définie par une relation de récurrence

Dans le cas d'une suite définie par une formule de récurrence sous la forme un+1=fun pour u0 donné, on représente les premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses en utilisant la courbe représentative de la fonction f définissant la relation de récurrence et la droite d'équation y=x.

exemple

Soit un la suite définie par u0=15 et pour tout entier naturel n par un+1=1+20un.

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on trace la droite 𝒟 d'équation y=x et la courbe 𝒞f représentative de la fonction f définie pour tout réel x0 par fx=1+20x.

Suite définie par récurrence : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On place le terme initial u0 sur l'axe des abscisses. u1=fu0 donc u1 est l'ordonnée du point M1 de la courbe 𝒞f d'abscisse u0.
Le point A1 de la droite 𝒟, de même ordonnée que le point M1, ayant pour coordonnées u1u1, on reporte la valeur de u1 sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite 𝒟.

On réitère le même procédé pour obtenir u2 à partir de u1 et successivement les termes suivants de la suite.

3 - Sens de variation d'une suite

Soit un une suite réelle.

  • Dire que la suite un est décroissante signifie que pour tout entier naturel n, un+1un.
  • Dire que la suite un est croissante signifie que pour tout entier naturel n, un+1un.
  • Dire que la suite un est constante (ou stationnaire) signifie que pour tout entier naturel n, un+1=un.

remarques

Étude de la monotonie d'une suite

Pour étudier le sens de variation d'une suite un on peut en général :

exemples

  1. La suite un est définie par u0=-1 et, pour tout entier naturel n, un+1=un2+un+1.

    Pour tout entier naturel n, un+1-un=un2+1 donc pour tout entier naturel n, un+1-un>0. La suite un est strictement croissante.


  2. La suite un est définie pour tout entier naturel n par un=2nn+1.

    La suite un est à termes strictement positifs et pour tout entier naturel n, un+1un=2n+1n+2×n+12n=2n+2n+2=1+nn+2

    Ainsi, la suite un est à termes strictement positifs et pour tout entier naturel n, un+1un1 donc la suite un est croissante.


  3. La suite un définie pour tout entier naturel n par un=1n2+n+1.

    Nous avons un=fnf est la fonction définie sur l'intervalle 0+ par fx=1x2+x+1.

    La dérivée de la fonction f est la fonction f définie par fx=-2x+1x2+x+12.

    Pour tout réel x, x2+x+12>0 et 2x+1>0x>-12. Par conséquent, sur l'intervalle 0+ on a fx<0 donc la fonction f est strictement décroissante.

    On en déduit que la suite un est strictement décroissante.



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