cours première ES

Suites

III - Suites géométriques

1 - définition

Dire qu'une suite $(u_{n})$ est géométrique signifie qu'il existe un nombre réel q non nul tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ Le réel q est appelé la raison de la suite géométrique.

La raison d'une suite géométrique est un réel indépendant de n.

Une suite est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre réel q.

exemple

La suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = - 2 \times 3^{n}$ est une suite géométrique de premier terme $u_{0} = - 2$ et de raison 3. En effet, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = - 2 \times 3^{n + 1} = - 2 \times 3^{n} \times 3 = u_{n} \times 3$

Évolution en pourcentage

Augmenter une grandeur de t % équivaut à multiplier sa valeur par $1 + \frac{t}{100}$ .
Diminuer une grandeur de t % équivaut à multiplier sa valeur par $1 - \frac{t}{100}$ .

Chaque fois qu'on est confronté à une situation d'évolutions successives d'une grandeur de t %, on peut modéliser la situation à l'aide d'une suite géométrique de raison $1 + \frac{t}{100}$ (augmentation) ou $1 - \frac{t}{100}$ (diminution)

exemples

Un capital de 2 000 € est placé au taux d'intérêt composé de 0,75 % par an.
Notons $C_{n}$ le capital disponible au bout de n années alors : $C_{n + 1} = C_{n} \times (1 + \frac{0,75}{100}) = 1,0075 \times C_{n}$ Ainsi, la suite $(C_{n})$ est une suite géométrique de premier terme $C_{0} = 2000$ et de raison $q = 1,0075$ .
Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de 4 % par an. En 2016, la quantité de rejets était de 50 000 tonnes.
Notons $R_{n}$ la quantité de rejets l'année $2016 + n$ d'où : $R_{n + 1} = R_{n} \times (1 - \frac{4}{100}) = 0,96 \times R_{n}$ Ainsi, la suite $(R_{n})$ est une suite géométrique de premier terme $R_{0} = 50000$ et de raison 0,96.

2 - Relations entre les termes

Expression explicite

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison q et de premier terme $u_{0}$ alors pour tout entier naturel n, $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$

Illustration

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison q et de premier terme $u_{0}$ : $\begin{array}{l} u_{1} = u_{0} \times q \\ u_{2} = u_{1} \times q = u_{0} \times q^{2} \\ u_{3} = u_{2} \times q = u_{0} \times q^{3} \end{array}$ On admet que cette propriété s'étend de proche en proche à tout entier n : $u_{n} = u_{n - 1} \times q = u_{0} \times q^{n}$
Réciproquement, si la suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier n par $u_{n} = a \times q^{n}$ où a et q sont des réels, alors pour tout entier n, $u_{n + 1} = a \times q^{n + 1} = a \times q^{n} \times q = u_{n} \times q$

exemple

L'objectif du groupe industriel de l'exemple précédent, est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une quantité inférieure ou égale à 30 000 tonnes (soit une réduction de 40 %).
Cet objectif sera-t-il atteint au bout de 10 ans ?

Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de : $R_{10} = 50000 \times {0,96}^{10} \approx 33242$

Avec un réduction de 4 % par an, en 2026 l'objectif du groupe industriel ne sera pas atteint.

Propriété

Si $(u_{n})$ une suite géométrique de raison q alors pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel p, $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$

démonstration

Soit $(u_{n})$ est une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison q alors pour tous entiers naturels n et p, $u_{n} = u_{0} \times q^{n} = u_{0} \times q^{p} \times q^{n - p} = u_{p} \times q^{n - p}$

remarque

Cette relation est utile lorsqu'une suite géométrique est définie à partir d'un certain rang ou lorsque l'on cherche la raison d'une suite géométrique dont on connaît deux termes.

exemple

$(u_{n})$ est une suite géométrique telle que $u_{6} = 2$ et $u_{9} = \frac{1}{4}$ .

Pour déterminer la raison q de la suite $(u_{n})$ on utilise la relation : $u_{9} = u_{6} \times q^{9 - 6} = u_{6} \times q^{3}$ Soit q solution de l'équation $\begin{matrix} \frac{1}{4} = 2 \times q^{3} & \Leftrightarrow & q^{3} = \frac{1}{8} & \Leftrightarrow & q = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Ainsi, $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ .

3 - Monotonie

rappel : La monotonie d'une suite $(u_{n})$ se déduit du signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison q et de premier terme $u_{0}$ donc : $\begin{array}{rcl} u_{n + 1} - u_{n} & = & u_{0} \times q^{n + 1} - u_{0} \times q^{n} \\ = & u_{0} \times q^{n} \times (q - 1) \end{array}$

La monotonie de la suite géométrique $(u_{n})$ dépend du signe de $u_{0}$ , $q^{n}$ et $(q - 1)$ :

Si $q < 0$ alors $q^{n}$ est positif si n est un entier naturel pair et, négatif si n est un entier naturel impair donc la suite n'est pas monotone.

q > 0

alors, pour tout entier naturel n,

q^{n} > 0

. Par conséquent, la suite est croissante ou décroissante selon le signe du produit

u_{0} \times (q - 1)

$0 < q < 1$		$q > 1$
Si $u_{0} < 0$ , alors la suite $(u_{n})$ est croissante.	Si $u_{0} > 0$ , alors la suite $(u_{n})$ est décroissante.	Si $u_{0} < 0$ , alors la suite $(u_{n})$ est décroissante.	Si $u_{0} > 0$ , alors la suite $(u_{n})$ est croissante.

Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants :

théorème 1

Soit q un réel non nul.

Si $q < 0$ alors la suite $(q^{n})$ n'est pas monotone.
Si $0 < q < 1$ alors la suite $(q^{n})$ est strictement décroissante.
Si $q = 1$ alors la suite $(q^{n})$ est constante.
Si $q > 1$ alors la suite $(q^{n})$ est strictement croissante.

théorème 2

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme $u_{0}$ non nul

Si $q < 0$ alors la suite $(u_{n})$ n'est pas monotone.
Si $q > 0$ et $u_{0} < 0$ alors la suite $(u_{n})$ a le sens de variation contraire de celui de la suite $(q^{n})$ .
Si $q > 0$ et $u_{0} > 0$ alors la suite $(u_{n})$ a le même sens de variation que la suite $(q^{n})$ .

exemple

Étudier la monotonie de la suite géométrique $(R_{n})$ de premier terme $R_{0} = 50000$ et de raison $q = 0,96$ .

Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcl} R_{n + 1} - R_{n} & = & 50000 \times {0,96}^{n + 1} - 50000 \times {0,96}^{n} \\ = & 50000 \times {0,96}^{n} \times (0,96 - 1) \\ = & - 2000 \times {0,96}^{n} \end{array}$

Ainsi, pour tout entier naturel n, $R_{n + 1} - R_{n} < 0$ donc la suite $(R_{n})$ est strictement décroissante.

Recherche d'un seuil à l'aide d'un algorithme

exemple 1
Soit $(R_{n})$ la suite géométrique, strictement décroissante, de premier terme $R_{0} = 50000$ et de raison $q = 0,96$ .
L'algorithme suivant permet d'obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est inférieur à 30000.
C'est à dire déterminer le plus petit entier N tel que pour tout entier $n ⩾ N$ , on a $50000 \times {0,96}^{n} < 30000$ .
$R \leftarrow 50000$
$N \leftarrow 0$
Tant que $R ⩾ 30 000$
$R \leftarrow 0,96 \times R$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que
- Initialisation des variables R et N : $R = 50000$ et $N = 0$ .
- Traitement : tant que la condition $R ⩾ 30000$ est vraie, on effectue la suite d'instructions situées à l'intérieur de la boucle « Tant que » et « Fin Tant que ».
- Sortie : à la fin de l'exécution de l'algorithme, la valeur de la variable N est 13.
Donc pour tout entier $n ⩾ 13$ , on a $50000 \times {0,96}^{n} < 30000$
exemple 2
Soit $(u_{n})$ la suite géométrique de raison 1,0075 et de premier terme $u_{0} = 2000$ . Comme $1,0075 > 1$ et $u_{0} > 0$ on en déduit que la suite $(u_{n})$ est croissante.
L'algorithme suivant permet d'obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est supérieur ou égal à 2300.
C'est à dire déterminer le plus petit entier N tel que pour tout entier $n ⩾ N$ , on a $2000 \times {1,0075}^{n} ⩾ 2300$ .
$U \leftarrow 2000$
$N \leftarrow 0$
Tant que $U < 2300$
$U \leftarrow 1,0075 \times U$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que
La valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de cet algorithme est 19.
Donc pour tout entier $n ⩾ 19$ on a $u_{n} ⩾ 2300$ . Soit pour tout entier $n ⩾ 19$ , $2000 \times {1,0075}^{n} ⩾ 2300$ .

4 - Somme de termes consécutifs

Somme des puissances successives

Soit $q \neq 1$ un réel et n un entier naturel. La somme $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ .

démonstration

On pose $S = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}$ d'où $q S = q + q^{2} + \dots + q^{n} + q^{n + 1}$ . Donc $S - q S = 1 - q^{n + 1}$ . Soit $S (1 - q) = 1 - q^{n + 1}$ .

Comme $q \neq 1$ , on en déduit que $S = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ .

remarque

Si $q = 1$ , $S = 1 + 1 + \dots + 1$ . S est la somme de $n + 1$ termes égaux à 1 d'où $S = n + 1$ .

Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$ et de premier terme $u_{0}$ alors pour tout entier naturel n, $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = \sum_{i = 0}^{n} u_{i} = u_{0} \times \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$

Cette formule peut se retenir de la façon suivante :

La somme S de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ est : $S = premier terme \times \frac{1 - q^{nombre de termes}}{1 - q}$

démonstration

$(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q \neq 1$ et de premier terme $u_{0}$ donc $\begin{array}{rcl} u_{0} + u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} & = & u_{0} + u_{0} \times q + u_{0} \times q^{2} + \dots + u_{0} \times q^{n} \\ = & u_{0} \times (1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}) \\ = & u_{0} \times \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} \end{array}$

exemple

Reprenons l'exemple du groupe industriel qui réduit sa quantité de rejets de 4 % par an et, calculons la masse totale, à une tonne près, des rejets émis sur l'ensemble des années 2016 à 2020.

On modélise la situation par la suite géométrique $(R_{n})$ de premier terme $R_{0} = 50000$ et de raison $q = 0,96$ où, le terme $R_{n}$ est la masse, exprimée en tonnes, des rejets émis l'année $2016 + n$ .

La masse totale des rejets émis pendant les années 2016 à 2020 est : $R = 50000 \times \frac{1 - {0,96}^{5}}{1 - 0,96} \approx 230784$

Pendant les cinq années (2016 à 2020), la masse totale des rejets a été de 230 784 tonnes.

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