cours première ES

Suites

II - Suites arithmétiques

1 - Définition

Une suite $(u_{n})$ est arithmétique s'il existe un nombre réel r tel que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = u_{n} + r$ Le réel r est appelé la raison de la suite arithmétique.

La raison d'une suite arithmétique est un réel indépendant de n.

Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r.

exemples

La suite des nombres entiers naturels est une suite arithmétique de premier terme 0 est de raison 1.
La suite des nombres pairs est une suite arithmétique de premier terme 0 est de raison 2.
La suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = 3 n - 2$ est une suite arithmétique de premier terme $u_{0} = - 2$ et de raison 3. En effet, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 3 \times (n + 1) - 2 = 3 n + 3 - 2 = (3 n - 2) + 3 = u_{n} + 3$

2 - Relations entre les termes

Formule explicite

Le terme général d'une suite arithmétique $(u_{n})$ de raison r et de premier terme $u_{0}$ est $u_{n} = u_{0} + n \times r$ .

illustration

$(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison r et de premier terme $u_{0}$ : $\begin{array}{l} u_{1} = u_{0} + r \\ u_{2} = u_{1} + r = u_{0} + 2 r \\ u_{3} = u_{2} + r = u_{0} + 3 r \end{array}$ On admet que cette propriété s'étend de proche en proche à tout entier n : $u_{n} = u_{n - 1} + r = u_{0} + n r$

Propriété

Si $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison r alors pour tous entiers naturels n et p, $u_{n} = u_{p} + (n - p) \times r$

démonstration

$(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison r alors pour tous entiers naturels n et p, $u_{n} - u_{p} = (u_{0} + n r) - (u_{0} + p r) = (n - p) r$

remarque

Si $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison r alors pour tous entiers naturels n et k, $u_{n + k} = u_{n} + k \times r$ .
Il suffit de connaître la raison et un terme quelconque d'une suite arithmétique pour pouvoir déterminer tous les termes de la suite.

3 - Variations

Le sens de variation d'une suite arithmétique ne dépend que de sa raison.

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison r.

La suite $(u_{n})$ est constante si, et seulement si, $r = 0$ .
La suite $(u_{n})$ est strictement croissante si, et seulement si, $r > 0$ .
La suite $(u_{n})$ est strictement décroissante si, et seulement si, $r < 0$ .

démonstration

$(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison r donc pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} - u_{n} = r$ .

La suite $(u_{n})$ est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} - u_{n} = 0 \Leftrightarrow r = 0$ .
La suite $(u_{n})$ est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} - u_{n} > 0 \Leftrightarrow r > 0$ .
La suite $(u_{n})$ est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} - u_{n} < 0 \Leftrightarrow r < 0$ .

3 - Somme de termes consécutifs

Cas particulier

Pour tout entier naturel n on a : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

démonstration

On peut écrire la somme S des n premiers entiers naturels non nuls de deux manières : $\begin{array}{l} S = 1 + 2 + \dots + (n - 1) + n \\ S = n + (n - 1) + \dots + 2 + 1 \end{array}$ Par addition des deux lignes on obtient : $\begin{array}{rcl} 2 S = \underset{n termes}{\underset{⏟}{(n + 1) + (n + 1) + \dots + (n + 1) + (n + 1)}} = n (n + 1) & soit & S = \frac{n (n + 1)}{2} \end{array}$

Cas général

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ , $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = (n + 1) \times \frac{u_{0} + u_{n}}{2}$ La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à : $nombre de termes \times \frac{premier terme + dernier terme}{2}$

démonstration

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison r. $\begin{array}{rcl} u_{0} + u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} & = & u_{0} + (u_{0} + r) + (u_{0} + 2 r) + \dots + (u_{0} + n r) \\ = & (n + 1) \times u_{0} + (1 + 2 + \dots + n) \times r \\ = & (n + 1) \times u_{0} + \frac{n (n + 1)}{2} \times r \\ = & (n + 1) \times \frac{2 u_{0} + n r}{2} \\ = & (n + 1) \times \frac{u_{0} + u_{n}}{2} \end{array}$

exemple

Calculer la somme des 100 premiers termes de la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = \frac{2 n}{3} - 5$ .

Montrons que la suite $(u_{n})$ est arithmétique.

Pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = \frac{2 \times (n + 1)}{3} - 5 = \frac{2 n}{3} + \frac{2}{3} - 5 = u_{n} + \frac{2}{3}$

Ainsi, $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison $r = \frac{2}{3}$ de premier terme $u_{0} = - 5$ et dont le centième terme $u_{99} = \frac{2 \times 99}{3} - 5 = 61$

Par conséquent, la somme S des 100 premiers termes de la suite $(u_{n})$ est : $S = 100 \times \frac{- 5 + 61}{2} = 2800$ .

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