contrôles communs seconde

contrôle commun du 28 Avril 2006

Corrigé de l'exercice 2

Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $\frac{3 - x}{x + 1} ⩾ 0$ .
L'expression $\frac{3 - x}{x + 1}$ n'est pas définie pour $x + 1 = 0$ , soit pour tout réel $x \neq - 1$ .
Pour trouver l'ensemble des solutions de l’inéquation $\frac{3 - x}{x + 1} ⩾ 0$ , on étudie le signe du quotient $\frac{3 - x}{x + 1}$ pour tout réel $x \neq - 1$ .
- Étude du signe de $3 - x$ : $\begin{array}{l} 3 - x ⩾ 0 & \Leftrightarrow & - x ⩾ - 3 \\ \Leftrightarrow & x ⩽ 3 & multiplication par un réel négatif \end{array}$
- Étude du signe de $x + 1$ : $x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - 1$
On rassemble les résultats dans un tableau et on applique la règle des signes relatives au quotient.
x $- \infty$ $- 1$ 3 $+ \infty$
$3 - x$ + + $0_{|}^{|}$ −
$x + 1$ − + $|$ +
$\frac{3 - x}{x + 1}$ − + $0_{|}^{|}$ −
Les solutions de l’inéquation $\frac{3 - x}{x + 1} ⩾ 0$ sont les réels de l'intervalle $] - 1; 3]$ .
Résoudre dans $ℝ$ l’équation ${(2 x - 3)}^{2} = (2 x - 3) (5 x + 3)$ .
Pour tout réel x : $\begin{array}{l} {(2 x - 3)}^{2} = (2 x - 3) (5 x + 3) & \Leftrightarrow & {(2 x - 3)}^{2} - (2 x - 3) (5 x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow & (2 x - 3) [(2 x - 3) - (5 x + 3)] = 0 \\ \Leftrightarrow & (2 x - 3) (2 x - 3 - 5 x - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow & (2 x - 3) (- 3 x - 6) = 0 \\ \Leftrightarrow & - 3 (2 x - 3) (x + 2) = 0 \end{array}$
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
On a donc $2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$ ou $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$
L'équation admet deux solutions $x_{1} = \frac{3}{2}$ et $x_{2} = - 2$

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x	$- \infty$		$- 1$		3		$+ \infty$
$3 - x$		+		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$x + 1$		−		+	$\|$	+
$\frac{3 - x}{x + 1}$		−		+	$0_{\|}^{\|}$	−