contrôles communs seconde

contrôle commun du 28 Avril 2006

Corrigé de l'exercice 5

Soit f la fonction définie par $f (x) = {(x - 2)}^{2} - 4$ dont la courbe représentative $𝒞_{f}$ est donnée ci-dessous.

Quel est l'ensemble de définition de f ?
À tout nombre réel x on peut associer une valeur unique $f (x)$ , donc :
La fonction f est définie dans $ℝ$ .
Extremum de f
1. Calculer $f (2)$ .
  $\begin{array}{l} f (2) & = & {(2 - 2)}^{2} - 4 \\ = & - 4 \end{array}$
  L'image de 2 est $f (2) = - 4$ .
2. Prouvez que pour tout réel x, on a: $f (x) - f (2) ⩾ 0$ . Que pouvez-vous en déduire pour la fonction f ?
  Pour tout réel x, $\begin{array}{l} f (x) - f (2) & = & {(x - 2)}^{2} - 4 - (- 4) \\ = & {(x - 2)}^{2} \end{array}$
  Un carré étant toujours positif :
  pour tout réel x, on a $f (x) - f (2) ⩾ 0$ .
  Or pour tout réel x, $f (x) - f (2) ⩾ 0 \Leftrightarrow f (x) ⩾ f (2)$
  Ainsi pour tout réel x, $f (x) ⩾ f (2)$ donc la fonction f admet pour minimum $f (2)$ .
Soit $g : x \to - 2 x + 3$ .
1. Dans le repère ci-dessus, tracez la représentation graphique d de la fonction g.
  g est une fonction affine. Sa courbe représentative est la droite d passant par les points de coordonnées $(0; 3) et (2; - 1)$ .
2. Par lecture graphique donner les solutions de l’équation $f (x) = g (x)$ .
  La droite d coupe la courbe $𝒞_{f}$ en deux points $A (- 1; 5) et B (3; - 3)$ .
  Graphiquement, l’équation $f (x) = g (x)$ a deux solutions, les abscisses des points d'intersection de la courbe $𝒞_{f}$ avec la droite d.
  l’équation $f (x) = g (x)$ a deux solutions : $- 1 et 3$ .
3. Vérifier que $f (x) - g (x) = (x - 3) (x + 1)$ et retrouvez par le calcul les résultats de la lecture graphique précédente.
  $\begin{array}{l} f (x) - g (x) & = & {(x - 2)}^{2} - 4 - (- 2 x + 3) \\ = & {(x - 2)}^{2} + 2 x - 7 \end{array}$
  Il n'y a pas de factorisation évidente, on développe donc les deux expressions ${(x - 2)}^{2} + 2 x - 7 et (x - 3) (x + 1)$ .
  Pour tout réel x, $\begin{array}{l} {(x - 2)}^{2} + 2 x - 7 & = & x^{2} - 4 x + 4 + 2 x - 7 \\ = & x^{2} - 2 x - 3 \end{array}$ et $\begin{array}{l} (x - 3) (x + 1) & = & x^{2} - 3 x + x - 3 \\ = & x^{2} - 2 x - 3 \end{array}$
  Ainsi Pour tout réel x, $f (x) - g (x) = (x - 3) (x + 1)$ .
  $\begin{array}{l} f (x) = g (x) & \Leftrightarrow & f (x) - g (x) = 0 \\ \Leftrightarrow & (x - 3) (x + 1) = 0 \end{array}$
  Or un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
  On a donc $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ ou $x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ .
  Les solutions de l'équation l’équation $f (x) = g (x)$ sont donc $- 1 et 3$ .

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