contrôle commun du 28 Avril 2006

Corrigé de l'exercice 3

Déterminer la fonction affine f telle que : $f\left(3\right)=-2\text{ et }f\left(-1\right)=3$.

f est une fonction affine alors il existe deux réels a et b tels que $f\left(x\right)=ax+b$ avec pour deux réels x₁ et x₂ distincts, $a={\displaystyle \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}}$.

Le coefficient $a={\displaystyle \frac{f\left(3\right)-f\left(-1\right)}{3-\left(-1\right)}}$. D'où $a={\displaystyle \frac{-2-3}{3+1}}=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$. Donc $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{5}{4}}x+b$.

Comme $f\left(-1\right)=3$, le coefficient b est solution de l'équation :$$\begin{array}{lll}-{\displaystyle \frac{5}{4}}\times \left(-1\right)+b=3& \iff & b=3-{\displaystyle \frac{5}{4}}\\ & \iff & b={\displaystyle \frac{7}{4}}\end{array}$$

Ainsi f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{5}{4}}x+{\displaystyle \frac{7}{4}}$.

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