contrôle commun du 28 Avril 2006

Corrigé de l'exercice 4

Sur la figure ci-dessous, les points A, B, C et D sont sur un cercle $𝒞$. On donne $DB=8\text{ cm}$, $DE=3\text{ cm}$, $DC=5\text{ cm}$ et $AE=4\text{ cm}$.

1. Prouver que les triangles CDE et AEB sont semblables.

   Considérons les triangles CDE et AEB :

   • Les angles $\widehat{CED}$ et $\widehat{AEB}$ sont opposés par le sommet alors, $\widehat{CED}=\widehat{AEB}$.

   • Les angles inscrits $\widehat{EDC}$ et $\widehat{BAE}$ interceptent le même arc de cercle $\stackrel{⌢}{BC}$ alors, $\widehat{EDC}=\widehat{BAE}$.

   Les triangles CDE et AEB ayant deux angles de même mesure sont semblables.

   ---

2. Calculer la longueur BE, puis les longueurs AB et EC.

   • Les points D, E et B sont alignés dans cet ordre alors, $$\begin{array}{lll}EB& =& DB-DE\\ & =& 8-3\\ & =& 5\end{array}$$

     $BE=5$.

     ---

   • Les triangles CDE et AEB sont semblables, donc : $${\displaystyle \frac{CD}{BA}}={\displaystyle \frac{DE}{AE}}={\displaystyle \frac{CE}{BE}}$$

     Soit : $${\displaystyle \frac{5}{BA}}={\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{CE}{5}}$$

     On obtient donc :$$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{5}{BA}}={\displaystyle \frac{3}{4}}& \iff & {\displaystyle \frac{3}{4}}BA=5\\ & \iff & BA=5\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\\ & \iff & BA={\displaystyle \frac{20}{3}}\end{array}$$ et $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{CE}{5}}={\displaystyle \frac{3}{4}}& \iff & CE=5\times {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ & \iff & CE={\displaystyle \frac{15}{4}}\end{array}$$

   $AB={\displaystyle \frac{20}{3}}\text{ et }EC={\displaystyle \frac{15}{4}}$.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Calcul numériqueIntervalles et ordreFonctions généralitésFonctions : variationsFonctions de référence : ApplicationsFonction affineFonction carréFonction inverseSecond degréFonction homographiqueÉquationsInéquationsStatistiquesProbabilitésVecteursRepérage dans le planÉquation de droitesSystèmes d'équationsTrigonométrieGéométrie dans l'espaceTriangles isométriques, Triangles semblablesQ.C.M

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.