contrôle du 20 Mai 2006

Corrigé de l'exercice 3

Résoudre dans $\left]-\pi ;\pi \right]$ les équations suivantes :

1. $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

   Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ :$$\begin{array}{ccc}\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\\ \cos x=\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

   Les solutions de l'équation $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ sont $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ ou $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

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2. $\sqrt{2}+2\sin x=0$

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}\sqrt{2}+2\sin x=0& \iff & \sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$$

   Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ :$$\begin{array}{ccc}\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\sin x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\\ \sin x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

   Les solutions de l'équation $\sqrt{2}+2\sin x=0$ sont $x=-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

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