contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 2

1. Soit les intervalles $I=\left]-\infty ;3\right]$ et $J=\left]-3;5\right]$. Déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$.

   • L'intersection $I\cap J$ est l'ensemble des réels qui sont à la fois dans l'intervalle I et dans l'intervalle J donc

     $I\cap J=\left]-3;3\right]$

     ---

   • La réunion $I\cup J$ est l'ensemble des réels qui sont dans l'intervalle I ou dans l'intervalle J donc

     $I\cup J=\left]-\infty ;5\right]$

     ---

2. Caractériser à l'aide d'intervalles l'ensemble des réels x satisfaisant à la condition indiquée :

   1. $\left|x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right|<{\displaystyle \frac{2}{3}}$

      $\left|x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right|$ est la distance entre le réel x et ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ : $$\begin{array}{lll}\left|x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right|<{\displaystyle \frac{2}{3}}& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}<x-{\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}<x<{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & \iff & 0<x<{\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

      D'où l'ensemble solution $S=\left]0;{\displaystyle \frac{4}{3}}\right[$

      ---

   2. $\left|x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right|⩽1$

      $\left|x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right|=\left|x-\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\right|$. Ainsi, $\left|x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right|$ est la distance entre le réel x et $\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ d'où : $$\begin{array}{lll}\left|x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right|⩽1& \iff & -1⩽x+{\displaystyle \frac{3}{2}}⩽1\\ & \iff & \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)-1⩽x⩽\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+1\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{5}{2}}⩽x⩽-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      D'où l'ensemble solution $S=\left[-{\displaystyle \frac{5}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right]$

      ---

   3. $\left|x-2\right|>1$

      On cherche l'ensemble des réels x dont la distance à 2 est supérieure à 1. $\left|x-2\right|>1$ équivaut à : $$\begin{array}{lrcl}& x-2<-1& \text{ou}& x-2>1\\ \text{Soit}& x<2-1& \text{ou}& x>2+1\\ \text{d'où}& x<1& \text{ou}& x>3\end{array}$$

      D'où l'ensemble solution $S=\left]-\infty ;1\right[\cup \left]3;+\infty \right[$

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Calcul numériqueIntervalles et ordreFonctions généralitésFonctions : variationsFonctions de référence : ApplicationsFonction affineFonction carréFonction inverseSecond degréFonction homographiqueÉquationsInéquationsStatistiquesProbabilitésVecteursRepérage dans le planÉquation de droitesSystèmes d'équationsTrigonométrieGéométrie dans l'espaceTriangles isométriques, Triangles semblablesQ.C.M

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.