contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 3

Soit x un nombre réel de l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{3}{7}};{\displaystyle \frac{5}{11}}\right]$

1. Donner un encadrement de $1-2x$

   $$\begin{array}{llll}x\in \left]{\displaystyle \frac{3}{7}};{\displaystyle \frac{5}{11}}\right]& \iff & {\displaystyle \frac{3}{7}}⩽x⩽{\displaystyle \frac{5}{11}}& \\ & \iff & -2\times {\displaystyle \frac{3}{7}}⩾-2x⩾-2\times {\displaystyle \frac{5}{11}}& \text{Multiplication par un réel négatif}\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{6}{7}}⩾-2x⩾-{\displaystyle \frac{10}{11}}& \\ & \iff & 1-{\displaystyle \frac{6}{7}}⩾1-2x⩾1-{\displaystyle \frac{10}{11}}& \text{On ajoute }1\\ & \iff & {\displaystyle \frac{1}{7}}⩾1-2x⩾{\displaystyle \frac{1}{11}}& \end{array}$$

   Si x est un nombre réel de l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{3}{7}};{\displaystyle \frac{5}{11}}\right]$, on obtient alors l'encadrement ${\displaystyle \frac{1}{11}}⩽1-2x⩽{\displaystyle \frac{1}{7}}$.

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2. Comparer $1-2x$ et ${\left(1-2x\right)}^2$.

   Pour comparer $1-2x$ et ${\left(1-2x\right)}^2$ , on utilise la propriété :

   Soit a un réel. Si $0<a<1$ alors $a^2<a$.

   Or d'après la question précédente, ${\displaystyle \frac{1}{11}}⩽1-2x⩽{\displaystyle \frac{1}{7}}$ donc

   Si x est un nombre réel de l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{3}{7}};{\displaystyle \frac{5}{11}}\right]$, alors ${\left(1-2x\right)}^2<1-2x$.

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