contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 4

x et y sont deux réels tels que $$\begin{array}{ccc}1<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& {\displaystyle \frac{3}{4}}<y<1\end{array}$$

Donner un encadrement de chacun des réels suivants :

1. $A=2y-x$

   Nous avons : $$\begin{array}{ccccc}1<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}& \iff & -1>-x>-{\displaystyle \frac{3}{2}}& \iff & -{\displaystyle \frac{3}{2}}<-x<-1\end{array}$$

   et $$\begin{array}{ccccc}{\displaystyle \frac{3}{4}}<y<1& \iff & 2\times {\displaystyle \frac{3}{4}}<2y<2\times 1& \iff & {\displaystyle \frac{3}{2}}<2y<2\end{array}$$

   En ajoutant membre à membre les deux inégalités on obtient : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}<2y-x<2-1& \iff & 0<2y-x<1\end{array}$$

   D'où l'encadrement $0<A<1$.

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2. $B=x^2-y^2$

   Nous avons : $$\begin{array}{cccc}& 1<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& {\displaystyle \frac{3}{4}}<y<1\\ \text{Soit}& 1^2<x^2<{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2& \text{et}& {\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2<y^2<1^2\\ \text{D'où}& 1<x^2<{\displaystyle \frac{9}{4}}& \text{et}& -1<-y^2<-{\displaystyle \frac{9}{16}}\end{array}$$

   En ajoutant membre à membre les deux inégalités on obtient : $$\begin{array}{ccc}1-1<x^2-y^2<{\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{16}}& \iff & 0<x^2-y^2<{\displaystyle \frac{27}{16}}\end{array}$$

   D'où l'encadrement $0<B<{\displaystyle \frac{27}{16}}$.

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3. $C={\displaystyle \frac{2x}{y}}$

   Nous avons : $$\begin{array}{cccc}& 1<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& {\displaystyle \frac{3}{4}}<y<1\\ \text{Soit}& 2\times 1<2x<2\times {\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& {\displaystyle \frac{4}{3}}>{\displaystyle \frac{1}{y}}>1\\ \text{D'où}& 2<2x<3& \text{et}& 1<{\displaystyle \frac{1}{y}}<{\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

   En multipliant membre à membre les deux inégalités on obtient : $$\begin{array}{ccc}2\times 1<{\displaystyle \frac{2x}{y}}<3\times {\displaystyle \frac{4}{3}}& \iff & 2<{\displaystyle \frac{2x}{y}}<4\end{array}$$

   D'où l'encadrement $2<C<4$.

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4. $D={\displaystyle \frac{x-1}{y^2+1}}$

   Nous avons : $$\begin{array}{cccc}& 1<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& {\displaystyle \frac{3}{4}}<y<1\\ \text{Soit}& 1-1<x-1<{\displaystyle \frac{3}{2}}-1& \text{et}& {\displaystyle \frac{9}{16}}+1<y^2+1<1+1\\ \text{D'où}& 0<x-1<{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& {\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{1}{y^2+1}}<{\displaystyle \frac{16}{25}}\end{array}$$

   En multipliant membre à membre les deux inégalités on obtient : $$\begin{array}{ccc}0\times {\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{x-1}{y^2+1}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{16}{25}}& \iff & 0<{\displaystyle \frac{x-1}{y^2+1}}<{\displaystyle \frac{8}{25}}\end{array}$$

   D'où l'encadrement $0<D<{\displaystyle \frac{8}{25}}$.

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