contrôle du 17 octobre 2008

Corrigé de l'exercice 1

Ranger dans l'ordre croissant les réels : x, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, $x^2$ et ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ sachant que $0<x<1$.

1. propriété 1 :

   a et b étant deux nombres strictement positifs, $a<b$ équivaut à ${\displaystyle \frac{1}{a}}>{\displaystyle \frac{1}{b}}$ .

   Par conséquent, si $0<x<1$ alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}>1$ d'où $x<{\displaystyle \frac{1}{x}}$

2. propriété 2 :

   Si $0<a<1$ alors $a^2<a$

   Par conséquent, si $0<x<1$ alors $x^2<x$

3. propriété 3 :

   Si $a>1$ alors $a<a^2$.

   Or si $0<x<1$ alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}>1$ d'où ${\displaystyle \frac{1}{x}}<{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2\iff {\displaystyle \frac{1}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

Donc si $0<x<1$ alors $x^2<x<{\displaystyle \frac{1}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

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