contrôle du 17 octobre 2008

Corrigé de l'exercice 3

Dresser un tableau de signes pour chacune des expressions suivantes $A\left(x\right)=2x-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ et $B\left(x\right)=5-{\displaystyle \frac{2}{3}}x$.

rappel

$a\ne 0$ et b sont deux réels fixés. Lorsque x varie sur $ℝ$ , l'expression $ax+b$ change de signe au point où elle s'annule. Le tableau établissant le signe de $ax+b$ avec $a\ne 0$ est :

x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{b}{a}}$		$+\infty$
Signe de $ax+b$		signe de $\left(-a\right)$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	signe de a

1. $A\left(x\right)=2x-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ . Nous avons $a=2$ et $$\begin{array}{rcl}A\left(x\right)=0& \iff & 2x-{\displaystyle \frac{4}{3}}=0\\ & \iff & 2x={\displaystyle \frac{4}{3}}\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

   Le tableau établissant le signe de $A\left(x\right)=2x-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ est donc :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{2}{3}}$		$+\infty$
   Signe de $A\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   ---

2. $B\left(x\right)=5-{\displaystyle \frac{2}{3}}x$. Nous avons $a=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $$\begin{array}{rcl}B\left(x\right)=0& \iff & 5-{\displaystyle \frac{2}{3}}x=0\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x=-5\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{15}{2}}\end{array}$$

   Le tableau établissant le signe de $B\left(x\right)=5-{\displaystyle \frac{2}{3}}x$ est donc :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{15}{2}}$		$+\infty$
   Signe de $B\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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