contrôles en seconde

contrôle du 17 octobre 2008

Corrigé de l'exercice 6

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations :

$2 - 3 x < 3 - 5 x$
$\begin{array}{rcl} 2 - 3 x < 3 - 5 x & \Leftrightarrow & - 3 x + 5 x < 3 - 2 \\ \Leftrightarrow & 2 x < 1 \\ \Leftrightarrow & x < \frac{1}{2} \end{array}$
L'ensemble solution de l'inéquation $2 - 3 x < 3 - 5 x$ est l'intervalle $] - \infty; \frac{1}{2} [$
${(2 - 3 x)}^{2} < (2 - 3 x) (3 - 5 x)$
$\begin{array}{rcl} {(2 - 3 x)}^{2} < (2 - 3 x) (3 - 5 x) & \Leftrightarrow & {(2 - 3 x)}^{2} - (2 - 3 x) (3 - 5 x) < 0 \\ \Leftrightarrow & (2 - 3 x) [(2 - 3 x) - (3 - 5 x)] < 0 \\ \Leftrightarrow & (2 - 3 x) (2 - 3 x - 3 + 5 x) < 0 \\ \Leftrightarrow & (2 - 3 x) (2 x - 1) < 0 \end{array}$
Pour résoudre cette inéquation, étudions le signe du produit $(2 - 3 x) (2 x - 1)$ à l'aide d'un tableau de signes :
Chacun des termes du produit est une expression de la forme $a x + b$ avec $a \neq 0$ qui change de signe au point où elle s'annule.
$\begin{matrix} 2 - 3 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3} & et & 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \end{matrix}$
On dresse le tableau de signes pour étudier le signe du produit :
x $- \infty$ $\frac{1}{2}$ $\frac{2}{3}$ $+ \infty$
Signe de $(2 - 3 x)$ + $|$ + $0_{|}^{|}$ −
Signe de $(2 x - 1)$ − $0_{|}^{|}$ + $|$ +
Signe de $(2 - 3 x) (2 x - 1)$ − $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −
L'ensemble solution de l'inéquation ${(2 - 3 x)}^{2} < (2 - 3 x) (3 - 5 x)$ est donc $S =] - \infty; \frac{1}{2} [\cup] \frac{2}{3}; + \infty [$

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x	$- \infty$		$\frac{1}{2}$		$\frac{2}{3}$		$+ \infty$
Signe de $(2 - 3 x)$		+	$\|$	+	$0_{\|}^{\|}$	−
Signe de $(2 x - 1)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$\|$	+
Signe de $(2 - 3 x) (2 x - 1)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−