contrôles en seconde

contrôle du 17 octobre 2008

Corrigé de l'exercice 4

On pose $A = {(2 x - 3)}^{2}$ et $B = 4 x^{2} - 9$ . Comparer A et B suivant les valeurs du réel x en étudiant le signe de leur différence.

$\begin{array}{rcl} A - B & = & {(2 x - 3)}^{2} - (4 x^{2} - 9) \\ = & 4 x^{2} - 12 x + 9 - 4 x^{2} + 9 \\ = & - 12 x + 18 \end{array}$

Étudions le signe de l'expression $- 12 x + 18$ : $\begin{array}{rcl} - 12 x + 18 < 0 & \Leftrightarrow & - 12 x < - 18 \\ \Leftrightarrow & x > \frac{18}{12} \\ \Leftrightarrow & x > \frac{3}{2} \end{array}$

Le tableau établissant le signe de $A - B$ est donc :

x	$- \infty$		$\frac{3}{2}$		$+ \infty$
Signe de $A - B$		+	$0_{\|}^{\|}$	−

Ainsi, ${\begin{matrix} Si x < \frac{3}{2} & alors {(2 x - 3)}^{2} > 4 x^{2} - 9 \\ Si x = \frac{3}{2} & alors {(2 x - 3)}^{2} = 4 x^{2} - 9 \\ Si x > \frac{3}{2} & alors {(2 x - 3)}^{2} < 4 x^{2} - 9 \end{matrix}$

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