contrôle du 17 janvier 2011

Corrigé de l'exercice 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on considère les points $A\left(-2;3\right)$, $B\left(4;6\right)$ et $C\left(7;0\right)$.

1. Lire les coordonnées du point M et du vecteur $\overrightarrow{AM}$.

   Le point M a pour coordonnées $M\left(4;1\right)$. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ sont $\overrightarrow{AM}\left(6;-2\right)$.

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2. Les points A, M et C sont-ils alignés ? (Justifier)

   Les points A, M et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
   Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ :$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AC}\left(x_C-x_A;y_C-y_A\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AC}\left(7-\left(-2\right);0-3\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AC}\left(9;-3\right)\end{array}$$

   Ainsi, $\overrightarrow{AC}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AM}$. Par conséquent, les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.

   Les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires donc les points A, M et C sont alignés.

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3. Quelle est la nature du triangle ABC ?

   Calculons les longueurs des trois côté du triangle ABC :$$\begin{array}{llll}& AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}& \text{Soit}& AB=\sqrt{{\left(4+2\right)}^2+{\left(6-3\right)}^2}=\sqrt{45}\\ & AC=\sqrt{{\left(x_C-x_A\right)}^2+{\left(y_C-y_A\right)}^2}& \text{Soit}& AC=\sqrt{9^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{90}\\ \text{et}& BC=\sqrt{{\left(x_C-x_B\right)}^2+{\left(y_C-y_B\right)}^2}& \text{Soit}& BC=\sqrt{{\left(7-4\right)}^2+{\left(0-6\right)}^2}=\sqrt{45}\end{array}$$

   Ainsi, ${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2$ d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.

   ABC est un triangle rectangle en B et isocèle.

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4. Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

   Il suffit que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

   Or les coordonnés des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont :$$\begin{array}{ccccccc}\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left(6;3\right)& \text{;}& \overrightarrow{DC}\left(x_C-x_D;y_C-y_D\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{DC}\left(7-x_D;-y_D\right)\end{array}$$

   Par conséquent, $$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}& \iff & \{\begin{array}{l}7-x_D=6\\ -y_D=3\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}{x}_D=1\\ y_D=-3\end{array}\end{array}$$

   Les coordonnées du point D sont $D\left(1;-3\right)$.

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5. Justifier que le quadrilatère que ABCD est un carré.

   Le parallélogramme ABCD ayant un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur est un carré.

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