contrôle du 17 janvier 2011

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur ℝ par $f\left(x\right)={\left(x-10\right)}^2-{\left(3x-7\right)}^2$.
La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.

1. Factoriser $f\left(x\right)$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{\left(x-10\right)}^2-{\left(3x-7\right)}^2& =& \left[\left(x-10\right)+\left(3x-7\right)\right]\left[\left(x-10\right)-\left(3x-7\right)\right]\\ & =& \left(4x-17\right)\left(-3-2x\right)\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)=\left(4x-17\right)\left(-3-2x\right)$.

2. Soit g la fonction affine définie sur ℝ telle que $g\left(-1\right)=5$ et $g\left(5\right)=65$. On note $C_g$ sa courbe représentative.

   1. Quelle est la nature de la courbe $C_g$ ? La tracer dans le repère précédent.

      g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite $C_g$ passant par les points de coordonnées $\left(-1;5\right)$ et $\left(5;65\right)$.

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   2. Déterminer une expression de g en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(5\right)-g\left(-1\right)}{5-\left(-1\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{65-5}{6}}=10\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=10x+b$. Or $g\left(-1\right)=5$ d'où $$-10+b=5\iff b=15$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=10x+15$.

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3. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(12-4x\right)$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& \left(4x-17\right)\left(-3-2x\right)-\left(10x+15\right)\\ & =& -\left(4x-17\right)\left(2x+3\right)-5\left(2x+3\right)\\ & =& \left(2x+3\right)\left[-\left(4x-17\right)-5\right]\\ & =& \left(2x+3\right)\left(12-4x\right)\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(12-4x\right)$.

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4. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$.

   Les abscisses des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$ sont les solutions de l'équation $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$.

   Soit les réels x solutions de : $$\begin{array}{ccc}\left(2x+3\right)\left(12-4x\right)=0& \iff & 2x+3=0\text{ ou }12-4x=0\hfill \\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{ ou }x=3\hfill \end{array}$$

   Or $$\begin{array}{ll}& g\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=10\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+15=0\\ \text{et}& g\left(3\right)=10\times 3+15=45\end{array}$$

   La droite $C_g$ coupe la courbe $C_f$ en deux points de coordonnées respectives $\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};0\right)$ et $\left(3;45\right)$

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