contrôle du 10 mai 2011

Corrigé de l'exercice 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on considère les points $A\left(5;-3\right)$, $B\left(7;8\right)$ et $C\left(-9;-2\right)$.
On note M, et N les milieux respectifs des segments [BC] et [AC].

1. Tracer le triangle ABC ainsi que les points M et N dans le repère donné ci-dessous.

   • Le point M est le milieu du segment [BC] ses coordonnées sont : $$\begin{array}{ccccc}M\left({\displaystyle \frac{x_B+x_C}{2}};{\displaystyle \frac{y_B+y_C}{2}}\right)& \text{Soit}& M\left({\displaystyle \frac{7-9}{2}};{\displaystyle \frac{8-2}{2}}\right)& \text{d'où}& M\left(-1;3\right)\end{array}$$
   • Le point N est le milieu du segment [AC] ses coordonnées sont : $$\begin{array}{ccccc}N\left({\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}};{\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2}}\right)& \text{Soit}& N\left({\displaystyle \frac{5-9}{2}};{\displaystyle \frac{-3-2}{2}}\right)& \text{d'où}& N\left(-2;-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\end{array}$$

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2. Déterminer une équation des droites (AM) et (BN)

   • Les points $A\left(5;-3\right)$ et $M\left(-1;3\right)$ n'ont pas la même abscisse par conséquent, la droite (AM) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées son équation est de la forme $y=mx+p$.

     Les coordonnées des points A et M vérifient l'équation de la droite (AM) par conséquent, m et p sont solutions du système $$\begin{array}{lcl}\{\begin{array}{l}5m+p=-3\\ -m+p=3\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}6m=-6\\ p=3+m\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}m=-1\\ p=2\end{array}\end{array}$$

     Ainsi, la droite (AM) a pour équation $y=-x+2$

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   • Les points $B\left(7;8\right)$ et $N\left(-2;-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ n'ont pas la même abscisse par conséquent, la droite (BN) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées son équation est de la forme $y=mx+p$.

     Les coordonnées des points B et N vérifient l'équation de la droite (BN) par conséquent, m et p sont solutions du système $$\begin{array}{lcl}\{\begin{array}{l}7m+p=8\\ -2m+p=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}9m={\displaystyle \frac{21}{2}}\\ p=2m-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}m={\displaystyle \frac{7}{6}}\\ p=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}\end{array}$$

     Ainsi, la droite (BN) a pour équation $y={\displaystyle \frac{7}{6}}x-{\displaystyle \frac{1}{6}}$

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3. Calculer les coordonnées du point G centre de gravité du triangle ABC.

   G est le centre de gravité du triangle ABC donc G est le point d'intersection des médianes (AM) et (BN). Les coordonnées du point G sont solutions du système :$$\begin{array}{lcl}\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y={\displaystyle \frac{7}{6}}x-{\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}y=-x+2\\ -x+2={\displaystyle \frac{7}{6}}x-{\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-x+2\\ -{\displaystyle \frac{13}{6}}x=-{\displaystyle \frac{13}{6}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\end{array}$$

   Le centre de gravité G du triangle ABC a pour coordonnées $G\left(1;1\right)$.

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