contrôle du 10 mai 2011

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2-x-7$.
La courbe représentative de la fonction f notée $C_f$ est tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Calculer les coordonnées du sommet S de la parabole $C_f$.

   La fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2-x-7$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=1$, $b=-1$ et $c=-7$ :

   pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}{x}^2-x-7& =& {\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}-7\hfill \\ & =& {\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{29}{4}}\hfill \end{array}$$

   La courbe représentative de la fonction f est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées $S\left({\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{29}{4}}\right)$.

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2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

   Pour tout réel x, $f\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{29}{4}}$. Le minimum de la fonction f est atteint pour $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et vaut : $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{29}{4}}$.
   D'après les variations des fonctions polynômes du second degré, le tableau des variations de la fonction f est :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-\frac{29}{4}$

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3. Soit $A\left(5;-4\right)$ et $B\left(-3;8\right)$.

   1. Déterminer l'équation réduite de la droite (AB). La tracer sur le repère précédent.

      Les points $A\left(5;-4\right)$ et $B\left(-3;8\right)$ n'ont pas la même abscisse par conséquent, la droite (AB) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées son équation est de la forme $y=mx+p$.

      Les coordonnées des points A et B vérifient l'équation de la droite (AB) par conséquent, m et p sont solutions du système $$\begin{array}{lcl}\{\begin{array}{l}5m+p=-4\\ -3m+p=8\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}p=-5m-4\\ -8m-4=8\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}m=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ p={\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}\end{array}$$

      Ainsi, la droite (AB) a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{7}{2}}$.

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   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la droite (AB) avec les axes du repère.

      La droite (AB) d'équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{7}{2}}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$.

      Comme $\begin{array}{lcl}-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{7}{2}}=0& \iff & x={\displaystyle \frac{7}{3}}\end{array}$. La droite (AB) coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{7}{3}};0\right)$.

      Les coordonnées des points d'intersection de la droite (AB) avec les axes du repère sont $\left({\displaystyle \frac{7}{3}};0\right)$ et $\left(0;{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$.

4. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la droite (AB) avec la parabole $C_f$.

   Les abscisses des points d'intersection de la droite (AB) avec la parabole $C_f$ sont solutions de l'équation :$$\begin{array}{lcl}{x}^2-x-7=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{7}{2}}& \iff & x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{21}{2}}=0\\ & \iff & {\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{21}{2}}=0\\ & \iff & {\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{169}{16}}=0\\ & \iff & \left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{13}{4}}\right)\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{13}{4}}\right)=0\\ & \iff & \left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)=0\\ & \iff & x=3\text{ ou }x=-{\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$$

   La droite (AB) coupe la parabole $C_f$ en deux points d'abscisses respectives $-{\displaystyle \frac{7}{2}}$ et 3. Calculons les ordonnées des deux points d'intersection à l'aide par exemple de l'équation de la droite (AB) :$$\begin{array}{ccc}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left(-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)+{\displaystyle \frac{7}{2}}={\displaystyle \frac{35}{4}}& \text{et}& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\times 3+{\displaystyle \frac{7}{2}}=-1\end{array}$$

   La droite (AB) coupe la parabole $C_f$ en deux points de coordonnées respectives $\left(-{\displaystyle \frac{7}{2}};{\displaystyle \frac{35}{4}}\right)$ et $\left(3;1\right)$.

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5. Étudier les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite (AB).

   Les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite (AB) se déduisent du signe de $f\left(x\right)-\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)=\left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$.

   Étudions le signe du produit $\left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{7}{2}}$		3		$+\infty$
   Signe de $\left(x+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   Signe de $\left(x-3\right)$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Signe de $\left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   • Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right]$ ou $\left[3;+\infty \right[$ la parabole $C_f$ est au dessus de la droite (AB).
   • Sur l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{7}{2}};3\right]$ la parabole $C_f$ est au dessous de la droite (AB).

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