contrôle du 06 juin 2011

Corrigé de l'exercice 1

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Déterminer la valeur des réels $x\in \left]-\pi ;\pi \right]$ sachant que $\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

   Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ :$\begin{array}{ccc}\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)\\ \cos x=\cos \left(-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$

   Les réels $x\in \left]-\pi ;\pi \right]$ tels que $\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ sont $x=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ et $x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.

   ---

2. Déterminer la valeur du cosinus de x sachant que $\sin x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $x\in \left[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$.

   • Méthode 1

     Pour tout réel x, ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$. D'où $$\begin{array}{ccc}{\cos }^{2}x+{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2=1& \iff & {\cos }^{2}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}=1\hfill \\ & \iff & {\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{3}{4}}\hfill \end{array}$$

     Soit $\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ ou $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. Comme x est un réel de l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$ alors, $0⩽\cos x⩽1$. Donc $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

     ---

   • Méthode 2

     Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ :$\begin{array}{ccc}\sin x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\sin x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\\ \sin x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$

     Comme x est un réel de l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$ alors, $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ or $\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. Donc $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

     ---

3. On donne $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}$. Déterminer la valeur exacte de $\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$.

   Pour tout réel x, ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$. D'où $$\begin{array}{ccc}{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\right)}^2+{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)=1& \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)=1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\right)}^2\hfill \\ & \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)=1-{\displaystyle \frac{6-2\sqrt{5}}{16}}\hfill \\ & \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{10+2\sqrt{5}}{16}}\hfill \end{array}$$

   Soit $\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}$ ou $\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}$. Comme $\left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)\in \left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$ alors, $0⩽\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)⩽1$.

   Ainsi, $\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}$

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Calcul numériqueIntervalles et ordreFonctions généralitésFonctions : variationsFonctions de référence : ApplicationsFonction affineFonction carréFonction inverseSecond degréFonction homographiqueÉquationsInéquationsStatistiquesProbabilitésVecteursRepérage dans le planÉquation de droitesSystèmes d'équationsTrigonométrieGéométrie dans l'espaceTriangles isométriques, Triangles semblablesQ.C.M

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.