contrôle du 06 juin 2011

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ\backslash \left\{1\right\}$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-4}{x-1}}$.
Sa courbe représentative $C_f$ est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous.

1. 1. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.

      • $f\left(0\right)=4$
      • $\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=0& \iff & 2x-4=0\text{ et }x\ne 1\end{array}$. Soit $\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=0& \iff & x=2\end{array}$.

      La courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;4\right)$ et l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(2;0\right)$.

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   2. Déterminer les réels a et b tels que $f\left(x\right)=a+{\displaystyle \frac{b}{x-1}}$.

      Pour tout réel $x\ne 1$ , $$a+{\displaystyle \frac{b}{x-1}}={\displaystyle \frac{ax-a+b}{x-1}}$$

      Par conséquent, ${\displaystyle \frac{ax-a+b}{x-1}}={\displaystyle \frac{2x-1}{x-1}}$ pour a et b sont solutions du système :$$\{\begin{array}{c}a=2\\ -a+b=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=2\\ b=-2\end{array}$$

      Ainsi , pour tout réel $x\ne 1$, $f\left(x\right)=2-{\displaystyle \frac{2}{x-1}}$

      ---

   3. 2 a-t-il un antécédent par f ?

      $\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=2& \iff & 2-{\displaystyle \frac{2}{x-1}}=2\text{ et }x\ne 1\end{array}$. Soit $\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=2& \iff & {\displaystyle \frac{2}{x-1}}=0\text{ et }x\ne 1\end{array}$.

      Or pour tout réel $x\ne 1$, ${\displaystyle \frac{2}{x-1}}\ne 0$ d'où $f\left(x\right)\ne 2$.

      L'équation $f\left(x\right)=2$ n'a pas de solution donc 2 n'a pas d'antécédent par f.

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2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=9$ et $g\left(8\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(8\right)-g\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}{8-\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{3}{2}}-9}{{\displaystyle \frac{21}{2}}}}=-1\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-x+b$. Or $g\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=9$ d'où $${\displaystyle \frac{5}{2}}+b=9\iff b={\displaystyle \frac{13}{2}}$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-x+{\displaystyle \frac{13}{2}}$.

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné en annexe.

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3. Étudier les positions relatives des courbes $C_f$ et D.

   Les positions relatives de l'hyperbole $C_f$ et de la droite D se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

   Or pour tout réel $x\ne 1$ :$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{2x-4}{x-1}}-\left(-x+{\displaystyle \frac{13}{2}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{2x-4-\left(-x+{\displaystyle \frac{13}{2}}\right)\left(x-1\right)}{x-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x-4+x^2-x-{\displaystyle \frac{13}{2}}x+{\displaystyle \frac{13}{2}}}{x-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2-{\displaystyle \frac{11}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}}{x-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(x-{\displaystyle \frac{11}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}}{x-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(x-{\displaystyle \frac{11}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{81}{16}}}{x-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(x-5\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{x-1}}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel $x\ne 1$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x-5\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{x-1}}$. Étudions le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ à l'aide d'un tableau :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		1		5		$+\infty$
   Signe de $\left(x-5\right)$		−	$|$	−		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Signe de $\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+		+	$|$	+
   Signe de $\left(x-1\right)$		−	$|$	−		+	$|$	+
   Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   • Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right]$ ou $\left]1;5\right]$ l'hyperbole $C_f$ est au dessous de la droite D.
   • Sur chacun des intervalles $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};1\right[$ ou $\left[5;+\infty \right[$ l'hyperbole $C_f$ est au dessus de la droite D.

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4. Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et D.

   D'après l'étude précédente, l'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$ est $S=\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}};5\right\}$.

   Comme $g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{13}{2}}=6$ et $g\left(5\right)=-5+{\displaystyle \frac{13}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$, on en déduit :

   La droite D coupe la courbe $C_f$ en deux points de coordonnées respectives $\left({\displaystyle \frac{1}{2}};6\right)$ et $\left(5;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

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