contrôles en seconde

contrôle du 18 décembre 2012

Corrigé de l'exercice 4

Dans le plan muni d'un repère orthonormé Oij on considère les points A-42, B-2-2, C41 et D25.

    1. Placer le point E tel que le quadrilatère ABEC soit un parallélogramme.

      Il suffit que AB=CE pour que le quadrilatère ABEC soit un parallélogramme.

      Or les coordonnés des vecteurs AB et CE sont :ABxB-xAyB-yASoitAB2-4;CExE-xCyE-yCSoitCExE-4yE-1

      Par conséquent, AB=CE{xE-4=2yE-1=-4{xE=6yE=-3

      Les coordonnées du point E sont E6-3


      Points A, B, C, D et E : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?

      Les coordonnés du vecteur DE sont :DExE-xDyE-yDSoitDE4-8

      D'où DE=2AB.

      Les vecteurs DE et AB sont colinéaires donc les droites (AB) et (DE) sont parallèles.


    1. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [BC].

      Les coordonnées du point M milieu du segment [BC] sont :MxB+xC2yB+yC2SoitM1-12

      Le point M a pour coordonnées M1-12.


    2. Les points A, O et M sont-ils alignés ?

      Les coordonnées des vecteurs OA et OM se déduisent des coordonnées des points A-42 et M1-12. Soit OA-42 et OM1-12

      D'où OA=-4OM.

      Les vecteurs OA et OM sont colinéaires donc les points A, O et M sont alignés


    1. Calculer les distances AC et BD.

      ACxC-xAyC-yAsoitAC8-1D'oùAC=82+-12=65etBDxD-xByD-yBsoitBD47D'oùBD=42+72=65

      Ainsi, AC=BD=65


    2. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

      AB2-4 et DC4-21-5 soit DC2-4. D'où AB=DC donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

      ABCD est un parallélogramme dont les diagonales AC et BD ont la même longueur donc ABCD est un rectangle.



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