contrôles en seconde

contrôle du 18 décembre 2012

Corrigé de l'exercice 4

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;𝚤,𝚥) on considère les points A(-4;2), B(-2;-2), C(4;1) et D(2;5).

    1. Placer le point E tel que le quadrilatère ABEC soit un parallélogramme.

      Il suffit que AB=CE pour que le quadrilatère ABEC soit un parallélogramme.

      Or les coordonnés des vecteurs AB et CE sont :AB(xB-xAyB-yA)SoitAB(2-4);CE(xE-xCyE-yC)SoitCE(xE-4yE-1)

      Par conséquent, AB=CE{xE-4=2yE-1=-4{xE=6yE=-3

      Les coordonnées du point E sont E(6;-3)


      Points A, B, C, D et E : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?

      Les coordonnés du vecteur DE sont :DE(xE-xDyE-yD)SoitDE(4-8)

      D'où DE=2AB.

      Les vecteurs DE et AB sont colinéaires donc les droites (AB) et (DE) sont parallèles.


    1. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [BC].

      Les coordonnées du point M milieu du segment [BC] sont :M(xB+xC2;yB+yC2)SoitM(1;-12)

      Le point M a pour coordonnées M(1;-12).


    2. Les points A, O et M sont-ils alignés ?

      Les coordonnées des vecteurs OA et OM se déduisent des coordonnées des points A(-4;2) et M(1;-12). Soit OA(-42) et OM(1-12)

      D'où OA=-4OM.

      Les vecteurs OA et OM sont colinéaires donc les points A, O et M sont alignés


    1. Calculer les distances AC et BD.

      AC(xC-xAyC-yA)soitAC(8-1)D'oùAC=82+(-1)2=65etBD(xD-xByD-yB)soitBD(47)D'oùBD=42+72=65

      Ainsi, AC=BD=65


    2. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

      AB(2-4) et DC(4-21-5) soit DC(2-4). D'où AB=DC donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

      ABCD est un parallélogramme dont les diagonales AC et BD ont la même longueur donc ABCD est un rectangle.



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