contrôle du 18 décembre 2012

exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=9-x^2$. Sa courbe représentative est la parabole P tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-6\right)=3$ et $g\left(4\right)=8$.

   1. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   2. Tracer la courbe $D_g$ représentative de la fonction g dans le repère donné précédent.

2. 1. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x+2\right)\left({\displaystyle \frac{3}{2}}-x\right)$

   2. Résoudre dans $ℝ$, l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

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exercice 2

On considère un triangle ABC. Soit M le point du plan tel que $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

1. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AM}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

2. Construire le point M dans la figure ci-dessous.

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exercice 3

1. Placer les points I, J et K tels que $\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AJ}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AC}$ et K milieu du segment [BC].

2. Exprimer les coordonnées des points I, J et K dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$.

3. Les points I, J et K sont-ils alignés ?

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exercice 4

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ on considère les points $A\left(-4;2\right)$, $B\left(-2;-2\right)$, $C\left(4;1\right)$ et $D\left(2;5\right)$.

1. 1. Placer le point E tel que le quadrilatère ABEC soit un parallélogramme.

   2. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?

2. 1. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [BC].

   2. Les points A, O et M sont-ils alignés ?

3. 1. Calculer les distances AC et BD.

   2. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

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