contrôle du 23 avril 2013

Corrigé de l'exercice 2a

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3-2x}{x+2}}$ . Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée en annexe ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormé.

1. 1. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩾0$.

      Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{3-2x}{x+2}}$ à l'aide d'un tableau de signes :

      x	$-2$				${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
      Signe de $3-2x$				+	$|$	−
      Signe de $x+2$				+	$|$	+
      Signe de $f\left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

      L'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩾0$ est $S=\left]-2;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$

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   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.

      $f\left(0\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $f\left(x\right)=0$ équivaut à $3-2x=0$ et $x\ne -2$ soit $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$

      Les points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère ont pour coordonnées $\left(0;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ et $\left({\displaystyle \frac{3}{2}};0\right)$.

      ---

   3. Déterminer les réels a et b tels que $f\left(x\right)=a+{\displaystyle \frac{b}{x+2}}$

      Pour tout réel $x\ne -2$ , $$a+{\displaystyle \frac{b}{x+2}}={\displaystyle \frac{ax+2a+b}{x+2}}$$

      D'où a et b sont solutions du système :$$\{\begin{array}{c}a=-2\\ 2a+b=3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=-2\\ b=7\end{array}$$

      Ainsi , pour tout réel x de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=-2+{\displaystyle \frac{7}{x+2}}$

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   4. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$.

      Soient a et b deux réels tels que $-2<a<b$ : $$\begin{array}{cccc}-2<a<b& \iff & 0<a+2<b+2\hfill & \\ & \iff & 0<{\displaystyle \frac{1}{b+2}}<{\displaystyle \frac{1}{a+2}}\hfill & \text{La fonction inverse est strictement décroissante sur }\left]0;+\infty \right[\hfill \\ & \iff & 0<{\displaystyle \frac{7}{b+2}}<{\displaystyle \frac{7}{a+2}}\hfill & \\ & \iff & -2<{\displaystyle \frac{7}{b+2}}-2<{\displaystyle \frac{7}{a+2}}-2\hfill & \end{array}$$

      Ainsi, si $-2<a<b$ alors $f\left(b\right)<f\left(a\right)$ donc f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$.

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2. Soit g la fonction affine définie par $g\left(x\right)=-x+4$. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère donné en annexe.

   La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D d'équation $y=-x+4$ passant par les points de coordonnées $\left(-2;6\right)$ et $\left(6;-2\right)$.

3. 1. Résoudre sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$, l'équation $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-g\left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{3-2x}{x+2}}-\left(-x+4\right)=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{3-2x-\left(-x+4\right)\left(x+2\right)}{x+2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{3-2x-\left(-x^2-2x+4x+8\right)}{x+2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x^2-4x-5}{x+2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{{\left(x-2\right)}^2-9}{x+2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\left(x-5\right)\left(x+1\right)}{x+2}}=0\\ & \text{Soit}& x=5\text{ ou }x=-1\end{array}$$

      L'ensemble S des solutions de l'équation $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$ est $S=\left\{-1;5\right\}$.

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   2. En déduire les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec la droite D.

      Comme l'ensemble S des solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ est $S=\left\{-1;5\right\}$ et d'autre part, $g\left(-1\right)=5$ et $g\left(5\right)=-1$ alors :

      La droite D coupe la courbe $C_f$ en deux points de coordonnées respectives $\left(-1;5\right)$ et $\left(5;-5\right)$.

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