contrôles en seconde

contrôle du 23 avril 2013

Corrigé de l'exercice 2b

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle ]-;2[ par f(x)=5x-3x-2. Sa courbe représentative notée Cf est tracée en annexe ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormé.

    1. Résoudre l'inéquation f(x)0.

      Étudions le signe du quotient 5x-3x-2 à l'aide d'un tableau de signes :

      x

      -352
      Signe de 5x-3|+
      Signe de x-2|
      Signe de f(x)+0||

      L'ensemble solution de l'inéquation f(x)0 est S=[35;2[


    2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe Cf avec les axes du repère.

      f(0)=32 et f(x)=0 équivaut à 5x-3=0 et x2 soit x=35

      Les points d'intersection de la courbe Cf avec les axes du repère ont pour coordonnées (0;32) et (35;0).


    3. Déterminer les réels a et b tels que f(x)=a+bx-2

      Pour tout réel x2 , a+bx-2=ax-2a+bx-2

      D'où a et b sont solutions du système :{a=5-2a+b=-3{a=5b=7

      Ainsi , pour tout réel x de l'intervalle ]-;2[, f(x)=5+7x-2


    4. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]-;2[.

      Soient a et b deux réels tels que a<b<2 : a<b<2a-2<b-2<01b+2<1a+2<0La fonction inverse est strictement décroissante sur  ]-;0[7b+2<7a+2<07b+2+5<7a+2+5<5

      Ainsi, si a<b<2 alors f(b)<f(a) donc f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle ]-;2[.


  1. Soit g la fonction affine définie par g(x)=-x-1. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère donné en annexe.

    La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D d'équation y=-x-1 passant par les points de coordonnées (-6;5) et (2;-3).

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Résoudre sur l'intervalle ]-;2[, l'équation f(x)-g(x)=0.

      Pour tout réel x de l'intervalle ]-;2[, f(x)-g(x)=05x-3x-2-(-x-1)=05x-3-(-x-1)(x-2)x-2=05x-3-(-x2+2x-x+2)x-2=0x2+4x-5x-2=0(x+2)2-9x-2=0(x-1)(x+5)x-2=0Soitx=1 ou x=-5

      L'ensemble S des solutions de l'équation f(x)-g(x)=0 est S={-5;1}.


    2. En déduire les coordonnées des points d'intersection de la courbe Cf avec la droite D.

      Comme l'ensemble S des solutions de l'équation f(x)=g(x) est S={-5;1} et d'autre part, g(-5)=4 et g(1)=-2 alors :

      La droite D coupe la courbe Cf en deux points de coordonnées respectives (-5;4) et (1;-2).



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