contrôle du 23 avril 2013

Corrigé de l'exercice 2b

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]-\infty ;2\right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5x-3}{x-2}}$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée en annexe ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormé.

1. 1. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.

      Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{5x-3}{x-2}}$ à l'aide d'un tableau de signes :

      x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{3}{5}}$		2
      Signe de $5x-3$		−	$|$	+
      Signe de $x-2$		−	$|$	−
      Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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      L'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$ est $S=\left[{\displaystyle \frac{3}{5}};2\right[$

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   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.

      $f\left(0\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $f\left(x\right)=0$ équivaut à $5x-3=0$ et $x\ne 2$ soit $x={\displaystyle \frac{3}{5}}$

      Les points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère ont pour coordonnées $\left(0;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ et $\left({\displaystyle \frac{3}{5}};0\right)$.

      ---

   3. Déterminer les réels a et b tels que $f\left(x\right)=a+{\displaystyle \frac{b}{x-2}}$

      Pour tout réel $x\ne 2$ , $$a+{\displaystyle \frac{b}{x-2}}={\displaystyle \frac{ax-2a+b}{x-2}}$$

      D'où a et b sont solutions du système :$$\{\begin{array}{c}a=5\\ -2a+b=-3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=5\\ b=7\end{array}$$

      Ainsi , pour tout réel x de l'intervalle $\left]-\infty ;2\right[$, $f\left(x\right)=5+{\displaystyle \frac{7}{x-2}}$

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   4. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right[$.

      Soient a et b deux réels tels que $a<b<2$ : $$\begin{array}{cccc}a<b<2& \iff & a-2<b-2<0\hfill & \\ & \iff & {\displaystyle \frac{1}{b+2}}<{\displaystyle \frac{1}{a+2}}<0\hfill & \text{La fonction inverse est strictement décroissante sur }\left]-\infty ;0\right[\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{7}{b+2}}<{\displaystyle \frac{7}{a+2}}<0\hfill & \\ & \iff & {\displaystyle \frac{7}{b+2}}+5<{\displaystyle \frac{7}{a+2}}+5<5\hfill & \end{array}$$

      Ainsi, si $a<b<2$ alors $f\left(b\right)<f\left(a\right)$ donc f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right[$.

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2. Soit g la fonction affine définie par $g\left(x\right)=-x-1$. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère donné en annexe.

   La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D d'équation $y=-x-1$ passant par les points de coordonnées $\left(-6;5\right)$ et $\left(2;-3\right)$.

3. 1. Résoudre sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right[$, l'équation $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-\infty ;2\right[$, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-g\left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{5x-3}{x-2}}-\left(-x-1\right)=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{5x-3-\left(-x-1\right)\left(x-2\right)}{x-2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{5x-3-\left(-x^2+2x-x+2\right)}{x-2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x^2+4x-5}{x-2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{{\left(x+2\right)}^2-9}{x-2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}{x-2}}=0\\ & \text{Soit}& x=1\text{ ou }x=-5\end{array}$$

      L'ensemble S des solutions de l'équation $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$ est $S=\left\{-5;1\right\}$.

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   2. En déduire les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec la droite D.

      Comme l'ensemble S des solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ est $S=\left\{-5;1\right\}$ et d'autre part, $g\left(-5\right)=4$ et $g\left(1\right)=-2$ alors :

      La droite D coupe la courbe $C_f$ en deux points de coordonnées respectives $\left(-5;4\right)$ et $\left(1;-2\right)$.

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