contrôles en seconde

contrôle du 4 octobre 2013

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - {(3 x + 2)}^{2}$ . On note $C_{f}$ sa courbe représentative.

1. Factoriser l'expression de $f (x)$ .
  Pour tout réel x, $\begin{matrix} {(2 x - 1)}^{2} - {(3 x + 2)}^{2} & = & [(2 x - 1) - (3 x + 2)] \times [(2 x - 1) + (3 x + 2)] \\ = & (2 x - 1 - 3 x - 2) (2 x - 1 + 3 x + 2) \\ = & (- x - 3) (5 x + 1) \end{matrix}$
  Pour tout réel x, $f (x) = (- x - 3) (5 x + 1)$
2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_{f}$ avec l'axe des abscisses.
  Les abscisses des points d'intersections de la courbe $C_{f}$ avec l'axe des abscisses sont les antécédents de 0. C'est à dire, les solutions de l'équation $f (x) = 0$ .
  Soit les réels x solutions de : $\begin{matrix} (- x - 3) (5 x + 1) = 0 & \Leftrightarrow & - x - 3 = 0 ou 5 x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = - 3 ou x = - \frac{1}{5} \end{matrix}$
  La courbe $C_{f}$ coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées respectives $(- 3; 0)$ et $(- \frac{1}{5}; 0)$
Développer l'expression de $f (x)$ .
Pour tout réel x, $\begin{matrix} {(2 x - 1)}^{2} - {(3 x + 2)}^{2} & = & (4 x^{2} - 4 x + 1) - (9 x^{2} + 12 x + 4) \\ = & 4 x^{2} - 4 x + 1 - 9 x^{2} - 12 x - 4 \\ = & - 5 x^{2} - 16 x - 3 \end{matrix}$
Ainsi, pour tout réel x, $f (x) = - 5 x^{2} - 16 x - 3$
Calculer l'image par la fonction f de 0.
$f (0) = - 5 \times 0 - 16 \times 0 - 3 = - 3$
$f (0) = - 3$
Quels sont les antécédents par la fonction f de $(- 3)$ ?
Les antécédents par la fonction f de $(- 3)$ sont les réels x solutions de l'équation $f (x) = - 3$ .
Soit les réels x solutions de : $\begin{array}{l} - 5 x^{2} - 16 x - 3 = - 3 & \Leftrightarrow & - 5 x^{2} - 16 x = 0 \\ \Leftrightarrow & - x (5 x + 16) = 0 \\ \Leftrightarrow & - x = 0 ou 5 x + 16 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 ou x = - \frac{16}{5} \end{array}$
Les antécédents de $(- 3)$ par la fonction f sont $- \frac{16}{5}$ et 0.

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