contrôle du 18 octobre 2013

Corrigé de l'exercice 1

1. Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+3$

   1. Quel est l'antécédent de $\left(-2\right)$ par la fonction f ?

      L'antécédent par la fonction f de $\left(-2\right)$ est le réel x solution de l'équation $f\left(x\right)=-2$. Soit x solution de : $$\begin{array}{lll}-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+3=-2& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x=-5\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{15}{2}}\end{array}$$

      $\left(-2\right)$ a pour antécédent $\left({\displaystyle \frac{15}{2}}\right)$ par la fonction f.

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   2. Donner le tableau du signe de $f\left(x\right)$.

      $$\begin{array}{lll}-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+3⩽0& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x⩽-3\\ & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$$

      D'où le tableau du signe de $f\left(x\right)$ :

      x	$-\infty$		4,5		$+\infty$
      Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

   3. Soient a et b deux réels tels que $a<b$ comparer $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$.

      La fonction affine f définie par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+3$ est strictement décroissante donc :

      Si a et b sont deux réels tels que $a<b$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$

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   4. Dans le plan muni d'un repère orthonormé tracer la courbe $D_1$ représentative de la fonction f.

      Comme f est une fonction affine, sa courbe représentative est une droite. La droite $D_1$ passe par les deux points de coordonnées $\left(0;3\right)$ et $\left(6;-1\right)$ .

2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-1\right)=-2$ et $g\left(7\right)=4$.

   1. Tracer la courbe $D_2$ représentative de la fonction g dans le repère précédent.

      g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite $D_2$ passant par les points de coordonnées $\left(-1;2\right)$ et $\left(7;4\right)$ .

   2. Déterminer l'expression de de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(7\right)-g\left(-1\right)}{7-\left(-1\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{4+2}{8}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}x+b$. Or $g\left(-1\right)=-2$ d'où $$-{\displaystyle \frac{3}{4}}+b=-2\iff b=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{5}{4}}$.

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   3. Étudier les positions relatives des deux droites $D_1$ et $D_2$.

      Les positions relatives des deux droites $D_1$ et $D_2$ se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$. Avec pour tout réel x, $$f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+3\right)-\left({\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)=-{\displaystyle \frac{17}{12}}x+{\displaystyle \frac{17}{4}}$$

      Comme $$\begin{array}{lll}-{\displaystyle \frac{17}{12}}x+{\displaystyle \frac{17}{4}}⩽0& \iff & -{\displaystyle \frac{17}{12}}x⩽-{\displaystyle \frac{17}{4}}\\ & \iff & x⩾3\end{array}$$

      on en déduit le tableau du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ :

      x	$-\infty$		3		$+\infty$
      $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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      • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;3\right]$, la droite $D_1$ est au dessus de la droite $D_2$.
      • Sur l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$, la droite $D_1$ est au dessous de la droite $D_2$
      • Les deux droites sont sécantes en un point de coordonnées $\left(3;1\right)$

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