contrôle du 22 novembre 2013

Corrigé de l'exercice 1

partie a

Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{4-x^2}{2x+10}}$. Sa courbe représentative notée $C_g$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.
Résoudre l'équation $g\left(x\right)=0$.

Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{lllll}g\left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{4-x^2}{2x+10}}=0& \text{et}& x>-5\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}{2x+10}}=0& \text{et}& x>-5\\ & \text{Soit}& \left(2-x\right)\left(2+x\right)=0& \text{et}& x>-5\end{array}$$

Or pour tout réel x, $$\begin{array}{ccccc}\left(2-x\right)\left(2+x\right)=0& \iff & x=2& \text{ou}& x=-2\end{array}$$

L'équation $g\left(x\right)=0$ admet deux solutions $x=-2$ ou $x=2$.

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partie b

Soit f la fonction affine définie sur $ℝ$ et telle que $f\left(-2\right)-f\left(4\right)=3$ et $f\left(-1\right)=2$.

1. Donner une expression de $f\left(x\right)$.

   La fonction affine f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{f\left(-2\right)-f\left(4\right)}{-2-4}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{3}{-6}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+b$. Or $f\left(-1\right)=2$ d'où $$\begin{array}{ccccc}{\displaystyle \frac{1}{2}}+b=2& \iff & b=2-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & b={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

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2. Quel est le sens de variation de la fonction f ?

   Le coefficient $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ de la fonction affine est négatif donc f est strictement décroissante.

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3. Tracer la courbe D représentative de la fonction f dans le repère de la partie A.

   La courbe représentative de la fonction f est la droite D d'équation $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$ passant par les points de coordonnées $\left(-1;2\right)$ et $\left(0;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$

partie c

1. Vérifier que sur l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{11-2x}{2x+10}}$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{4-x^2}{2x+10}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-x+3}{2}}-{\displaystyle \frac{4-x^2}{2x+10}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(-x+3\right)\left(x+5\right)-\left(4-x^2\right)}{2x+10}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-x^2-5x+3x+15-4+x^2}{2x+10}}\\ & =& {\displaystyle \frac{11-2x}{2x+10}}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{11-2x}{2x+10}}$.

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2. Calculer les coordonnées des points d'intersection éventuels de la droite D avec la courbe $C_g$.

   Les abscisses des points d'intersection de la droite D avec la courbe $C_g$ sont les solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. Soit les réels x de l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$ solutions de l'équation ${\displaystyle \frac{11-2x}{2x+10}}=0$.

   Or pour tout réel $x\ne -5$, $$\begin{array}{ccccc}{\displaystyle \frac{11-2x}{2x+10}}=0& \iff & 11-2x=0& \iff & x={\displaystyle \frac{11}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, la droite D coupe la courbe $C_g$ en un point d'abscisse $x={\displaystyle \frac{11}{2}}$. D'autre part, $$f\left({\displaystyle \frac{11}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{11}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$$

   La droite D coupe la courbe $C_g$ en un point de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{11}{2}};-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)$.

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3. 1. Étudier le signe de ${\displaystyle \frac{11-2x}{2x+10}}$ sur l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$, à l'aide d'un tableau.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{cccc}& 11-2x⩽0& \iff & x⩾{\displaystyle \frac{11}{2}}\hfill \\ \text{et}& 2x+10⩽0& \iff & x⩽-5\hfill \end{array}$$

      Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{11-2x}{2x+10}}$ sur l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$, à l'aide d'un tableau de signes :

      x	$-5$			${\displaystyle \frac{11}{2}}$		$+\infty$
      $11-2x$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $2x+10$			+	$|$	+
      ${\displaystyle \frac{11-2x}{2x+10}}$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   2. En déduire l'ensemble S des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾g\left(x\right)$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$, $f\left(x\right)⩾g\left(x\right)\iff f\left(x\right)-g\left(x\right)⩾0$. Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$, ${\displaystyle \frac{11-2x}{2x+10}}⩾0$. D'après le tableau du signe de ${\displaystyle \frac{11-2x}{2x+10}}$ :

      L'ensemble S des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$ est $S=\left]-5;{\displaystyle \frac{11}{2}}\right]$.

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