contrôle du 22 novembre 2013

Corrigé de l'exercice 3

1. Construire le point M défini par $\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BC}$

   La méthode pour construire le point M défini par une égalité vectorielle est d'obtenir une relation du type $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}$ où $\overrightarrow{u}$ est un vecteur « connu ».

   $$\begin{array}{lll}\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BC}& \iff & \overrightarrow{MA}-3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{BC}\\ & \iff & \overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\\ & \iff & -2\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\ & \iff & \overrightarrow{AM}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{BC}\end{array}$$

   Nous pouvons construire le point M défini par $\overrightarrow{AM}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{BC}$

2. Les droites (BM) et (AC) sont-elles parallèles ?

   $$\begin{array}{lll}\overrightarrow{BM}& =& \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\\ & =& \overrightarrow{BA}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{BC}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{BC}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AC}\end{array}$$

   $\overrightarrow{BM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AC}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Par conséquent, les droites (BM) et (AC) sont parallèles.

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