contrôles en seconde

contrôle du 22 novembre 2013

Corrigé de l'exercice 5

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ (unités graphiques 1 cm sur chaque axe)

Placer les points $A (- 2; 2)$ , $B (3; 1)$ , $C (1; - 2)$ et $D (- 4; - 1)$ .
Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{D C}$ . En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
Les coordonnés des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{D C}$ sont : $\begin{matrix} \vec{A B} (\begin{matrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{matrix}) & Soit & \vec{A B} (\begin{matrix} 2 - (- 2) \\ 1 - 2 \end{matrix}) \Leftrightarrow \vec{A B} (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \end{matrix}) & ; & \vec{D C} (\begin{matrix} x_{C} - x_{D} \\ y_{C} - y_{D} \end{matrix}) & Soit & \vec{D C} (\begin{matrix} 1 - (- 4) \\ - 2 - (- 1) \end{matrix}) \Leftrightarrow \vec{D C} (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \end{matrix}) \end{matrix}$
Les coordonnées des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{D C}$ sont $\vec{A B} (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \end{matrix})$ et $\vec{D C} (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \end{matrix})$ d'où, $\vec{A B} = \vec{D C}$ donc ABCD est un parallélogramme.
Calculer les coordonnées du point E tel que OAEB soit un parallélogramme.
OAEB est un parallélogramme équivaut à $\vec{O A} = \vec{B E}$ . Or les coordonnés des vecteurs $\vec{O A}$ et $\vec{B E}$ sont : $\begin{matrix} \vec{O A} (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix}) & ; & \vec{B E} (\begin{matrix} x_{E} - x_{B} \\ y_{E} - y_{B} \end{matrix}) & Soit & \vec{B E} (\begin{matrix} x_{E} - 3 \\ y_{E} - 1 \end{matrix}) \end{matrix}$
Par conséquent, $\begin{matrix} \vec{O A} = \vec{B E} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x_{E} - 3 = - 2 \\ y_{E} - 1 = 2 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x_{E} = 1 \\ y_{E} = 3 \end{matrix} \end{matrix}$
Les coordonnées du point E sont $E (1; 3)$

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