contrôle du 30 septembre 2014

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions à l'aide d'un intervalle.

1. $2x-3⩾-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}2x-3⩾-{\displaystyle \frac{2}{3}}& \iff & 2x⩾-{\displaystyle \frac{2}{3}}+3\\ & \iff & 2x⩾{\displaystyle \frac{7}{3}}\\ & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{7}{6}}\end{array}$$

   L'ensemble S des solutions de l'inéquation $2x-3⩾-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ est $S=\left[{\displaystyle \frac{7}{6}};+\infty \right[$.

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2. $1-{\displaystyle \frac{2}{3}}x>3+x$

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}1-{\displaystyle \frac{2}{3}}x>3+x& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x-x>3-1\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{5}{3}}x>2\\ & \iff & x<-{\displaystyle \frac{6}{5}}\end{array}$$

   L'ensemble S des solutions de l'inéquation $1-{\displaystyle \frac{2}{3}}x>3+x$ est $S=\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{6}{5}}\right[$.

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3. ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}-x\right)}^2⩽\left(x-1\right)\left(x+2\right)$

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}-x\right)}^2⩽\left(x-1\right)\left(x+2\right)& \iff & {\displaystyle \frac{1}{4}}-x+x^2⩽x^2+2x-x-2\\ & \iff & -2x⩽-{\displaystyle \frac{9}{4}}\\ & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{9}{8}}\end{array}$$

   L'ensemble S des solutions de l'inéquation ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}-x\right)}^2⩽\left(x-1\right)\left(x+2\right)$ est $S=\left[{\displaystyle \frac{9}{8}};+\infty \right[$.

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