contrôles en seconde

contrôle du 30 septembre 2014

Corrigé de l'exercice 4

Soit f une fonction définie sur l'intervalle $[- 8; 5]$ . Son tableau de variations est le suivant :

x	− 8		− 5		− 3	2	5
$f (x)$	6		1		3		− 2

Comparer $f (- \frac{17}{3})$ et $f (- 6)$ .
Sur l'intervalle $[- 8; - 5]$ , la fonction f est décroissante donc $f (- \frac{17}{3}) ⩽ f (- 6)$ .
Quel est le nombre de solutions de l'équation $f (x) = 2$ .
L'équation $f (x) = 2$ admet trois solutions $x_{1} \in [- 8; - 5]$ , $x_{2} \in [- 5; - 3]$ et $x_{3} \in [- 3; 2]$ .
Résoudre l'inéquation $f (x) > 0$ .
L'ensemble S des solutions de l'inéquation $f (x) > 0$ est $S = [- 8; 2 [$ .
Pour chacune des propositions suivantes, justifier : si elle est vraie ; si elle est fausse ou si le tableau ne permet pas de conclure.
1. « Si x est un réel de l'intervalle $[- 8; - 3]$ alors $3 ⩽ f (x) ⩽ 6$ . »
  $f (- 5) = 1$ donc la proposition « Si x est un réel de l'intervalle $[- 8; - 3]$ alors $3 ⩽ f (x) ⩽ 6$ » est fausse.
2. « Si $3 ⩽ f (x) ⩽ 6$ alors $x \in [- 8; - 3]$ . »
  - Si $x \in [- 8; - 3]$ alors $1 ⩽ f (x) ⩽ 6$
  - Si $x \in] - 3; 5]$ alors $f (x) < 3$
  Par conséquent, la proposition « Si $3 ⩽ f (x) ⩽ 6$ alors $x \in [- 8; - 3]$ » est vraie.
3. « Tous les réels de l'intervalle $[- 8; 0]$ ont une image supérieure ou égale à 1. »
  $0 \in] - 3; 5]$ et, d'après le tableau $0 < f (0) < 3$ donc
  Le tableau de variation ne permet pas de décider si la proposition « Tous les réels de l'intervalle $[- 8; 0]$ ont une image supérieure ou égale à 1 » est vraie ou fausse.

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