contrôle du 30 septembre 2014

Corrigé de l'exercice 5

1. Donner l'ensemble de définition de la fonction f.

   M est un point du segment [AB] donc $x\in \left[0;5\right]$.

   La fonction f est définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$.

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2. La courbe représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

   À l'aide du graphique, déterminer :

   1. la position du point M pour que l'aire de la partie non hachurée soit maximale ;

      Le maximum de la fonction f est atteint pour $x=\mathrm{3,5}$.

      L'aire de la partie non hachurée soit maximale pour $AM=\mathrm{3,5}$.

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   2. l'intervalle sur lequel l'aire de la partie non hachurée est inférieure à 20.

      Les solutions de l'inéquation $f\left(x\right)<20$ sont les abscisses des points de la courbe dont l'odonnée est inférieure à 20.

      L'aire de la partie non hachurée est inférieure à 20 sur l'intervalle $\left[0;2\right[$.

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3. Montrer que la fonction f est définie par $f\left(x\right)=14x-2x^2$.

   $f\left(x\right)$ est égal à la somme des aires du rectangle MNJB et du rectangle NICJ d'où : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)& =& x\left(5-x\right)+x\left(9-x\right)\hfill \\ & =& 6x-x^2++9x-x^2\hfill \\ & =& -2x^2+14x\hfill \end{array}$$

   f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $f\left(x\right)=-2x^2+14x$.

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4. Calculer $f\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$. Est-il possible que l'aire de la partie non hachurée soit supérieure à ${\displaystyle \frac{99}{4}}$ ?

   $$f\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)=-2\times {\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)}^2+14\times {\displaystyle \frac{7}{2}}={\displaystyle \frac{49}{2}}$$

   Le maximum de la fonction f est égal à 24,5 donc il n'est pas possible que l'aire de la partie non hachurée soit supérieure à ${\displaystyle \frac{99}{4}}$.

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5. Déterminer les positions éventuelles du point M pour que l'aire de la partie non hachurée soit égale au double de l'aire du carré AMNP.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=2x^2& \iff & -2x^2+14x=2x^2\hfill \\ & \iff & -4x^2+14x=0\hfill \\ & \iff & -2x\times \left(2x-7\right)=0\hfill \\ & \text{Soit}& x=0\text{ ou }x={\displaystyle \frac{7}{2}}\hfill \end{array}$$

   L'aire de la partie non hachurée soit égale au double de l'aire du carré AMNP quand M est confondu avec A ou quand $AM=\mathrm{3,5}$ .

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