contrôle du 12 avril 2016

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction inverse définie pour tout réel $x\ne 0$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

1. Déterminer un encadrement de $f\left(x\right)$ dans chacun des cas :

   Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;0\right[$ ou $\left]0;+\infty \right[$ la fonction inverse est strictement décroissante d'où :

   1. $-\mathrm{1,25}⩽x⩽-\mathrm{0,25}\iff -4⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽-\mathrm{0,8}$

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   2. ${10}^{-2}⩽x⩽10\iff \mathrm{0,1}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽100$

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   3. $x⩾5\iff 0<{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽\mathrm{0,2}$

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2. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ la fonction inverse est strictement décroissante d'où :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{x}}⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}& \iff & 0<x⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}$ est l'intervalle $\left]0;\mathrm{1,5}\right]$.

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