contrôle du 12 avril 2016

Corrigé de l'exercice 2

partie a : Lecture graphique

1. On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 2,50 €.
   Comparer l'offre et la demande pour ce prix de vente.

   Avec un prix de vente de 2,50 €, la quantité offerte par les producteurs est de 30 000 articles alors que la demande des consommateurs à ce prix est estimée à 85 000 articles. La demande est supérieure à l'offre.

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2. Déterminer le prix de vente à partir duquel le nombre d'articles offerts sur le marché par les producteurs sera supérieur à 75 000.
   Quel problème cela pose-t-il ?

   Pour un prix de vente supérieur à 11,50 €, le nombre d'articles offerts sur le marché par les producteurs sera supérieur à 75 000 articles.
   À ce prix, l'offre est supérieure à la demande.

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3. On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.
   Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.

   Le point d'intersection des deux courbes a pour coordonnées $\left(\mathrm{7,5};65\right)$

   Le prix d'équilibre est de 7,50 €, l'offre est égale à la demande de 65 000 articles.

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partie b : La fonction demande

La demande des consommateurs est modélisée par la fonction affine g définie sur l'intervalle $\left[1;p\right]$ telle que $g\left(5\right)=75$ et $g\left(10\right)=55$.

1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

   La fonction affine g est définie par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(5\right)-g\left(10\right)}{5-10}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{75-55}{-5}}=-4\end{array}$$

   D'où, $g\left(x\right)=-4x+b$. Comme $g\left(5\right)=75$ on a : $$\begin{array}{rcl}-4\times 5+b=75& \iff & b=3-{\displaystyle \frac{4}{3}}\\ & \iff & b=95\end{array}$$

   Ainsi, g est la fonction définie par $g\left(x\right)=-4x+95$.

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2. Déterminer le prix de vente p d'un article pour lequel la demande est nulle.

   p est solution de l'équation :$$\begin{array}{ccc}-4x+95=0& \iff & x={\displaystyle \frac{95}{4}}=\mathrm{23,75}\end{array}$$

   La demande des consommateurs est nulle pour un prix de vente de 23,75 €.

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partie c : La fonction d'offre

L'offre des producteurs est modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=100-{\displaystyle \frac{700}{2x+5}}$.

1. Soit a et b deux réels tels que $1<a<b$. Comparer $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$.
   En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$.

   • méthode 1

     Étudions le signe de $f\left(a\right)-f\left(b\right)$ :$$\begin{array}{rcl}f\left(a\right)-f\left(b\right)& =& -{\displaystyle \frac{700}{2a+5}}+{\displaystyle \frac{700}{2b+5}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1400a-1400b}{\left(2a+5\right)\left(2b+5\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1400\left(a-b\right)}{\left(2a+5\right)\left(2b+5\right)}}\end{array}$$

     Si $1<a<b$ alors, $2a+5>7$, $2b+5>7$ et $a-b<0$ d'où $f\left(a\right)-f\left(b\right)<0$

     Par conséquent, si $1<a<b$ alors, $f\left(a\right)<f\left(b\right)$ donc la fonction f est strictement croissante.

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   • méthode 2

     $$\begin{array}{rcll}1<a<b& \iff & 2<2a<2b& \\ & \iff & 7<2a+5<2b+5& \\ & \iff & {\displaystyle \frac{1}{2b+5}}<{\displaystyle \frac{1}{2a+5}}<{\displaystyle \frac{1}{7}}& \text{La fonction inverse est décroissante sur }\left]0;+\infty \right[\\ & \iff & -100<-{\displaystyle \frac{700}{2a+5}}<-{\displaystyle \frac{700}{2b+5}}& \text{Multiplication par un réel négatif.}\\ & \iff & 0<100-{\displaystyle \frac{700}{2a+5}}<100-{\displaystyle \frac{700}{2b+5}}& \end{array}$$

     Par conséquent, si $1<a<b$ alors, $f\left(a\right)<f\left(b\right)$ donc la fonction f est strictement croissante.

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2. Selon ce modèle, est-il possible que l'offre des producteurs soit de 100 milliers d'articles ?

   $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=100& \iff & 100-{\displaystyle \frac{700}{2x+5}}=100\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{700}{2x+5}}=0\end{array}$$

   L'équation $f\left(x\right)=100$ n'a pas de solution donc il n'est pas possible que l'offre des producteurs soit de 100 000 articles.

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partie c : Le prix d'équilibre

Le prix d'équilibre est le réel $x⩾1$ solution de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

1. Vérifier que $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(2x-15\right)\left(4x+45\right)}{2x+5}}$.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& 100-{\displaystyle \frac{700}{2x+5}}+4x-95\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(4x+5\right)\left(2x+5\right)-700}{2x+5}}\\ & =& {\displaystyle \frac{8x^2+20x+10x+25-700}{2x+5}}\\ & =& {\displaystyle \frac{8x^2+30x-675}{2x+5}}\end{array}$$

   Or pour tout réel x, $$\left(2x-15\right)\left(4x+45\right)=8x^2+90x-60x-675=8x^2+60x-675$$

   Ainsi, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(2x-15\right)\left(4x+45\right)}{2x+5}}$.

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   remarque

   $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(4x+5\right)\left(2x+5\right)-700}{2x+5}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(4x+45\right)\left(2x+5\right)-40\left(2x+5\right)-700}{2x+5}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(4x+45\right)\left(2x+5\right)-80x-900}{2x+5}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(4x+45\right)\left(2x+5\right)-20\left(4x+45\right)}{2x+5}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(4x+45\right)\left(2x-15\right)}{2x+5}}\end{array}$$

2. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. En déduire le nombre d'articles échangés au prix d'équilibre.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\left(2x-15\right)\left(4x+45\right)}{2x+5}}=0\\ & \text{Soit}& x={\displaystyle \frac{15}{2}}\text{ ou }x=-{\displaystyle \frac{45}{4}}\end{array}$$

   Comme $x={\displaystyle \frac{15}{2}}$ est la seule solution supérieure à 1 et $g\left(\mathrm{7,5}\right)=-30+95=65$, on en déduit que :

   Au prix d'équilibre de de 7,50 €, 65 000 articles sont échangés entre les producteurs et les consommateurs.

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