contrôles en terminale ES

contrôle du 19 décembre 2007

Corrigé de l'exercice 4

Simplifier l'écriture des expressions suivantes :

$a = \frac{1}{3} \ln 9 - 4 \ln \sqrt{3} - \ln \frac{1}{3}$
Utilisons les règles de calcul : $\begin{array}{l} \ln 9 = 2 \ln 3 & Pour tout réel a > 0 et pour tout entier n, \ln (a^{n}) = n \ln a & d'où & \frac{1}{3} \ln 9 = \frac{2}{3} \ln 3 \\ \ln \sqrt{3} = \frac{1}{2} \ln 3 & Pour tout réel a > 0, \ln (\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln a & d'où & 4 \ln \sqrt{3} = 2 \ln 3 \\ \ln \frac{1}{3} = - \ln 3 & Pour tout réel a > 0, \ln (\frac{1}{a}) = - \ln a \end{array}$
Ainsi, $\begin{array}{l} a & = & \frac{1}{3} \ln 9 - 4 \ln \sqrt{3} - \ln \frac{1}{3} & = & \frac{2}{3} \ln 3 - 2 \ln 3 + \ln 3 & = & - \frac{\ln 3}{3} \end{array}$
$\frac{1}{3} \ln 9 - 4 \ln \sqrt{3} - \ln \frac{1}{3} = - \frac{\ln 3}{3}$
$b = \frac{\ln 36}{\ln 3 + \ln 2}$
$\begin{matrix} b & = & \frac{\ln 36}{\ln 3 + \ln 2} & = & \frac{2 \ln 6}{\ln 6} & = & 2 \end{matrix}$
$\frac{\ln 36}{\ln 3 + \ln 2} = 2$
$c = \frac{\ln 5 - \ln 10}{2 \ln (\sqrt{2})}$
$\begin{matrix} c & = & \frac{\ln 5 - \ln 10}{2 \ln (\sqrt{2})} & = & \frac{\ln 5 - \ln 2 - \ln 5}{\ln 2} & = & - 1 \end{matrix}$
$\frac{\ln 5 - \ln 10}{2 \ln (\sqrt{2})} = - 1$

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