contrôles en terminale ES

contrôle du 19 décembre 2007

Corrigé de l'exercice 3

Dans chaque cas, trouver la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{2}$ et $F (1) = 0$ .
D'après la formule donnant les primitives de $x^{n}$ , les primitives de f sont les fonctions F définies sur $ℝ$ telles que : $\begin{matrix} F (x) = \frac{x^{2 + 1}}{3} - 3 \times \frac{x^{1 + 1}}{2} + \frac{1}{2} \times x + c & Soit & F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + c \end{matrix}$
Or $\begin{array}{l} F (1) = 0 & \Leftrightarrow & \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + c = 0 \\ \Leftrightarrow & c = \frac{2}{3} \end{array}$
Ainsi, la primitive de la fonction f est la fonction F défine sur $ℝ$ par $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{2}{3}$ .
f est définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = 2 x^{3} - 1 - \frac{1}{x^{2}}$ et $F (1) = 1$ .
Les primitives de f sont les fonctions F définies sur $] 0; + \infty [$ telles que : $\begin{matrix} F (x) = 2 \times \frac{x^{4}}{4} - x + \frac{1}{x} + c & Soit & F (x) = \frac{x^{4}}{2} - x + \frac{1}{x} + c \end{matrix}$
D'autre part, $\begin{array}{l} F (1) = 1 & \Leftrightarrow & \frac{1}{2} - 1 + 1 + c = 1 \\ \Leftrightarrow & c = \frac{1}{2} \end{array}$
Ainsi, F est la fonction défine sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = \frac{x^{4}}{2} - x + \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$ .

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