contrôles en terminale ES

contrôle du 19 décembre 2007

Corrigé de l'exercice 5

Résoudre dans $ℝ$ l'équation suivante après avoir précisé l'ensemble de définition de l'équation. $\ln (1 - 2 x) = \ln (x + 2) + \ln 3$
La fonction $\ln$ est définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ . Par conséquent, l'équation $\ln (1 - 2 x) = \ln (x + 2) + \ln 3$ est définie pour les réels x tels que $\begin{matrix} 1 - 2 x > 0 et x + 2 > 0 & Soit pour & x < \frac{1}{2} et x > - 2 \end{matrix}$
Ainsi, l'ensemble de définition de l'équation $\ln (1 - 2 x) = \ln (x + 2) + \ln 3$ est l'intervalle $] - 2; \frac{1}{2} [$ .
Pour tout réel $x \in] - 2; \frac{1}{2} [$ , $\begin{array}{lc} \ln (1 - 2 x) = \ln (x + 2) + \ln 3 & \Leftrightarrow & \ln (1 - 2 x) = \ln 3 (x + 2) \\ \Leftrightarrow & 1 - 2 x = 3 x + 6 \\ \Leftrightarrow & x = - 1 \end{array}$
$- 1 \in] - 2; \frac{1}{2} [$ donc :
$- 1$ est la solution de l'équation $\ln (1 - 2 x) = \ln (x + 2) + \ln 3$ .
1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $1 - x^{2} > 0$
  Les racines du polynôme $1 - x^{2}$ sont $- 1$ et 1. Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines donc
  $1 - x^{2} > 0 \Leftrightarrow x \in] - 1; 1 [$
2. Déterminer l'ensemble de définition de l'équation $\ln (1 - x^{2}) = \ln (2 x - 1)$
  L'équation $\ln (1 - x^{2}) = \ln (2 x - 1)$ est définie pour les réels x tels que $\begin{matrix} 1 - x^{2} > 0 et 2 x - 1 > 0 & Soit pour & x \in] - 1; 1 [et x > \frac{1}{2} \end{matrix}$
  Ainsi, l'ensemble de définition de l'équation $\ln (1 - x^{2}) = \ln (2 x - 1)$ est l'intervalle $] \frac{1}{2}; 1 [$ .
3. Résoudre dans l'intervalle $] \frac{1}{2}; 1 [$ l'équation $\ln (1 - x^{2}) = \ln (2 x - 1)$
  Pour tout réel $x \in] \frac{1}{2}; 1 [$ , $\begin{array}{lc} \ln (1 - x^{2}) = \ln (2 x - 1) & \Leftrightarrow & 1 - x^{2} = 2 x - 1 \\ \Leftrightarrow & - x^{2} - 2 x + 2 = 0 \end{array}$
  Cherchons les solutions de l'équation du second degré $- x^{2} - 2 x + 2 = 0$ avec avec $a = - 1, b = - 2 et c = 2$
  $Δ = {(- 2)}^{2} - 4 \times (- 1) \times 1 = 12$ , l'équation admet deux solutions $\begin{matrix} x_{1} = \frac{2 - 2 \sqrt{3}}{2 \times (- 1)} = \sqrt{3} - 1 & et & x_{2} = \frac{2 + 2 \sqrt{3}}{2 \times (- 1)} = - 1 - \sqrt{3} \end{matrix}$
  Or $\sqrt{3} - 1 \in] \frac{1}{2}; 1 [$ et $- 1 - \sqrt{3} \notin] \frac{1}{2}; 1 [$ . D'où
  L'ensemble des solutions de l'équation $\ln (1 - x^{2}) = \ln (2 x - 1)$ est $S = {\sqrt{3} - 1}$ .

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