contrôles en terminale ES

Contrôle du 16 avril 2008

Corrigé de l'exercice 3

Un atelier produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l'exclusion de tout autre défaut. On a constaté que, parmi les pièces produites, 28 % ont le défaut A, 27 % ont le défaut B, et 10 % ont les deux défauts.

On choisit au hasard une des pièces produites. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?
Notons :
A l'évènement : « La pièce a le défaut A » et $\bar{A}$ l'évènement contraire.
B l'évènement : « La pièce a le défaut B » et $\bar{A}$ l'évènement contraire.
Nous avons :
A $\bar{A}$
B 0,1 0,27
$\bar{B}$
0,28 1
Une pièce défectueuse est une qui présente le défaut A ou le défaut B. Or $\begin{array}{l} p (A \cup B) & = & p (A) + p (B) - p (A \cap B) \\ = & 0,28 + 0,27 - 0,1 \\ = & 0,45 \end{array}$
La probabilité de prendre une pièce défectueuse est égale à 0,45.
On admet que 80 % des pièces qui n'ont qu'un seul des deux défauts sont réparables, et que 40 % des pièces qui ont les deux défauts sont réparables. On choisit une pièce au hasard et on note :
- $D_{1}$ l'évènement : « La pièce a un seul défaut »;
- $D_{2}$ l'évènement : « La pièce a deux défauts»;
- R l'évènement : « La pièce est réparable ».
1. Montrer que la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie est réparable » est $p (R) = 0,32$ .
  D'après la question précédente, $p (D_{1} \cup D_{2}) = 0,45$ . Or $D_{1}$ et $D_{2}$ sont deux évènements incompatibles d'où $\begin{matrix} p (D_{1}) + p (D_{2}) = 0,45 & \Rightarrow & p (D_{1}) = 0,45 - 0,1 = 0,35 \end{matrix}$
  D'après la formule des probabilités totales, $\begin{array}{l} p (R) & = & p (D_{1} \cap R) + p (D_{2} \cap R) \\ = & p_{D_{1}} (R) \times p (D_{1}) + p_{D_{2}} (R) \times p (D_{2}) \\ = & 0,35 \times 0,8 + 0,1 \times 0,4 \\ = & 0,28 + 0,04 \\ = & 0,32 \end{array}$
  Ainsi, la probabilité qu'une pièce soit réparable » est égale à 0,32.
2. Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu'elle n'ait qu'un seul défaut.
  $\begin{matrix} p_{R} (D_{1}) & = & \frac{p (D_{1} \cap R)}{p (R)} \\ = & \frac{0,28}{0,32} \\ = & 0,875 \end{matrix}$
  La probabilité qu'une pièce n'ait qu'un seul défaut sachant qu'elle est réparable est égale à 0,875.
3. On choisit au hasard successivement cinq pièces. On suppose que le nombre de pièces est suffisamment important pour que ces tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.
  Calculer la probabilité pour que, sur les 5 pièces choisies, au moins une pièce soit réparable.
  Choisir au hasard successivement cinq pièces dans des conditions identiques et indépendantes est la répétition de cinq épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
  La loi de probabilité associée au nombre de pièces réparables est une loi binomiale de paramètres 5 et 0,32.
  L'évènement «au moins une des cinq pièces est réparable » et l'évènement contraire de l'évènement «aucune des cinq pièces n'est réparable»
  Or, la probabilité qu'aucune des cinq pièces ne soit réparable est égale à ${(1 - 0,32)}^{5} = {0,68}^{5}$
  Par conséquent, la probabilité qu'au moins une des cinq pièces soit réparable est : $1 - {0,68}^{5} \approx 0,8546$
  Arrondie au millième, la probabilité qu'au moins une des cinq pièces soit réparable est 0,855.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.

	A	$\bar{A}$
B	0,1		0,27
$\bar{B}$
	0,28		1