contrôles en terminale ES

Contrôle du 16 avril 2008

Corrigé de l'exercice 4 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.



  1. Il faut au moins 24 ans pour qu'un capital placé à un taux d'intérêt annuel de 3% double.

    Le coefficient multiplicateur associé au taux d'intérêt annuel de 3% est égal à 1,03.

    Le nombre d'années nécéssaire pour que le capital double est le plus petit entier n solution de 1,03n2ln(1,03n)ln2n×ln1,03ln2nln2ln1,03

    Or ln2ln1,0323,4 donc l'affirmation 1 est vraie.

    Il faut au moins 24 ans pour qu'un capital placé à un taux d'intérêt annuel de 3% double.


  2. Pour diminuer le montant des dépenses publicitaires d'une entreprise de 30% en 5 ans, il suffit de diminuer le montant des dépenses publicitaires de 6% par an.

    Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 6% est égal à 0,94. Donc le coefficient multiplicateur associé à 5 baisses successives de 6% par an est égal à : 0,9450,734 Soit une baisse d'environ 26,6%

    L'affirmation 2 est fausse.


  3. e0 est solution de l'équation lnx=x.

    e0=1 et lne0=0

    L'affirmation 3 est fausse.


  4. Sur ]0;+[, la fonction F telle que F(x)=xlnx-x est une primitive de la fonction f telle que f(x)=lnx-1.

    F(x)=1×lnx+x×1x-1=lnx+1-1=lnx.
    Ainsi, sur ]0;+[, F est une primitive de la fonction ln:xlnx.

    L'affirmation 4 est fausse.


  5. Pour tout réel x, eln(x2+1)-ln(e1-x2)0.

    Pour tout réel x, eln(x2+1)-ln(e1-x2)=(x2+1)-(1-x2)=2x2 Et pour tout réel x, 2x20 donc l'affirmation 5 est vraie.

    Pour tout réel x, eln(x2+1)-ln(e1-x2)0.


  6. Pour tout réel x, eln(x2-1)=x2-1.

    La fonction ln est définie sur ]0;+[, donc l'expression ln(x2-1) est définie pour x2-1>0. Soit pour x]-;-1[]1;+[.

    Ainsi, pour x]-;-1[]1;+[, eln(x2-1)=x2-1.

    L'affirmation 6 est fausse.


  7. Pour tout réel x, e2x+1ex2+1=2x+1x2+1.

    Affirmation manifestement fausse, il suffit de prendre par exemple x=1.

    L'affirmation 7 est fausse.


  8. Pour tout réel x, ex2=e2x.

    Affirmation manifestement fausse, il suffit de prendre par exemple x=1.

    L'affirmation 8 est fausse.


  9. limx0ex-1x=e0.

    Le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 est égal à e0, c'est à dire à 1.

    Or par définition, le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 est égal à : limx0ex-e0x-0=limx0ex-1x=e0=1 donc l'affirmation 9 est vraie.

    limx0ex-1x=e0.


  10. La solution de l'équation e0,2x+0,8=1 est négative.

    Pour tout réel x, e0,2x+0,8=1e0,2x=0,2 D'où : 0,2x<0 En effet, e0,2x=0,2lne0,2x=ln0,20,2x=ln0,2x=ln0,20,2-8,074 donc l'affirmation 10 est vraie.

    La solution de l'équation e0,2x+0,8=1 est négative.



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