Contrôle du 16 avril 2008

Corrigé de l'exercice 2

partie a

1. Au point $A\left(0;1\right)$, la courbe (C) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses. En déduire $f\left(0\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

   • Le point $A\left(0;1\right)$ appartient à la courbe (C) donc $f\left(0\right)=1$

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   • La tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 0 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(0\right)=0$

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2. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction F.

   Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3	Courbe 4

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$ signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   • Pour tout réel x, $f\left(x\right)>0$ donc F est une fonction strictement croissante. Seules les courbes 2 et 4 peuvent convenir.

   • $f\left(0\right)=1\iff F\prime \left(0\right)=1$ . Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0 est donc égal à 1.

   La courbe 4 est la seule courbe susceptible d'être la représentation graphique de la fonction F.

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partie b

Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x+{\mathrm{e}}^{-x}$.

1. 1. Vérifier que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x{\mathrm{e}}^x+1}{{\mathrm{e}}^x}}$ et déterminer la limite de la fonction f en $-\infty$.

      Pour tout réel x, $$x+{\mathrm{e}}^{-x}=x+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}={\displaystyle \frac{x{\mathrm{e}}^x+1}{{\mathrm{e}}^x}}$$

      Or $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$ d'où $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x+1=1$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=0^{+}$ donc par quotient, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x{\mathrm{e}}^x+1}{{\mathrm{e}}^x}}=+\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

      ---

   2. Montrer que la courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation $y=x$ en $+\infty$.

      Pour tout réel x, $f\left(x\right)-x={\mathrm{e}}^{-x}$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-x}=0$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-x=0$ donc la courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation $y=x$ en $+\infty$.

      ---

2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      ${\mathrm{e}}^{-x}$ est de la forme ${\mathrm{e}}^u$ avec $u\left(x\right)=-x$ . Par conséquent, la dérivée de la fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}$ est la fonction $x\mapsto -{\mathrm{e}}^{-x}$.

      Ainsi, $f\prime \left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^{-x}$.

      ---

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $ℝ$ puis dresser le tableau de variation complet de f.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{cccc}1-{\mathrm{e}}^{-x}<0& \iff & {\mathrm{e}}^{-x}>1& \\ & \iff & -x>0& \text{La fonction exponentielle est strictement croissante}\\ & \iff & x<0& \end{array}$$

      D'où le tableau des variations de f :

      x	$-\infty$		0		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			1

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3. Soit F la primitive de la fonction f telle que $F\left(0\right)=-1$.

   1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0.

      Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0 est donnée par la relation : $$y=F\prime \left(0\right)\times \left(x-0\right)+F\left(0\right)\iff y=F\prime \left(0\right)\times x+F\left(0\right)$$

      Or F est une primitive de la fonction f donc $F\prime \left(0\right)=f\left(0\right)=1$. Comme $F\left(0\right)=-1$ :

      La tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0 a pour équation $y=x-1$.

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   2. Calculer $F\left(x\right)$.

      Pour tout réel x, $f\left(x\right)=x+{\mathrm{e}}^{-x}=x-\left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)$. Donc les primitives de la fonction f sont les fonctions F définies sur $ℝ$ par $$\begin{array}{cc}F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\mathrm{e}}^{-x}+c& \text{où }c\text{ est un réel}\end{array}$$

      D'autre part, $$\begin{array}{ccccc}F\left(0\right)=-1& \iff & -{\mathrm{e}}^0+c=-1& \iff & c=0\end{array}$$

      Ainsi, F est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\mathrm{e}}^{-x}$.

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