contrôles en terminale ES

Contrôle du 16 avril 2008

thèmes abordés

  • Fonction exponentielle.
  • Primitive d'une fonction.
  • Probabilités.

exercice 1

Le tableau suivant donne la moyenne mensuelle du cours du blé à Chicago exprimé en cents/boisseau de janvier à décembre 2007.

Rang xi du mois 123456789101112
Moyenne mensuelle du cours yi
(cents/boisseau)
466,1464,7459,5471,2486573,5613,3691,8863853,7791,7916,7
    1. Représenter le nuage de points associé à la série xiyi dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour un mois en abscisse et 1 cm pour 100 cents en ordonnée).

    2. Donner l'équation de la droite D d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les calculs seront faits à la calculatrice et les résultats donnés à 10-3 près. Tracer la droite D dans le repère précédent.

  1. La forme du nuage de points permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose zi=lnyi.

    1. Compléter le tableau suivant (les valeurs de zi seront arrondies à 10-3)

      xi123456789101112
      yi466,1464,7459,5471,2486573,5613,3691,8863853,7791,7916,7
      zi=lnyi6,1446,1416,13         
    2. L'équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés est z=0,0725x+5,951.
      En déduire l'expression de y en fonction de x de la forme y=aebx avec a arrondi au centième.

  2. La moyenne du cours du blé pour le mois de février 2008 était de 1059 cents/boisseau. Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ?

exercice 2

partie a

La courbe (C) tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d'une fonction f définie sur . On désigne par f la fonction dérivée de f sur .

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Au point A01 , la courbe (C) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses. En déduire f0 et f0 .

  2. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive F de la fonction f.
    Déterminer la courbe associée à la fonction F.

    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 4 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3 Courbe 4

partie b

Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur par fx=x+e-x .

    1. Vérifier que pour tout réel x, fx=xex+1ex et déterminer la limite de la fonction f en - .

    2. Montrer que la courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation y=x en + .

    1. Calculer fx .

    2. Étudier le signe de fx sur puis dresser le tableau de variation complet de f.

  1. Soit F la primitive de la fonction f telle que F0=-1 .

    1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0.

    2. Calculer Fx .


exercice 3

Un atelier produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l'exclusion de tout autre défaut. On a constaté que, parmi les pièces produites, 28 % ont le défaut A, 27 % ont le défaut B, et 10 % ont les deux défauts.

  1. On choisit au hasard une des pièces produites. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?

  2. On admet que 80 % des pièces qui n'ont qu'un seul des deux défauts  sont réparables, et que 40 % des pièces qui ont les deux défauts sont réparables. On choisit une pièce au hasard et on note :

    • D1 l'évènement : « La pièce a un seul défaut »;
    • D2 l'évènement : « La pièce a deux défauts»;
    • R l'évènement : « La pièce est réparable ».
    1. Montrer que la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie est réparable » est pR=0,32.

    2. Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu'elle n'ait qu'un seul défaut.

    3. On choisit au hasard successivement cinq pièces. On suppose que le nombre de pièces est suffisamment important pour que ces tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.
      Calculer la probabilité pour que, sur les 5 pièces choisies, au moins une pièce soit réparable.


exercice 4 candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Recopier les propositions suivantes, en indiquant pour chacune d'elles, si elle est juste ou fausse. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.

  1. Il faut au moins 24 ans pour qu'un capital placé à un taux d'intérêt annuel de 3% double.

  2. Pour diminuer le montant des dépenses publicitaires d'une entreprise de 30% en 5 ans il suffit de diminuer le montant des dépenses publicitaires de 6% par an.

  3. e0 est solution de l'équation lnx=x.

  4. Sur 0+, la fonction F telle que Fx=xlnx-x est une primitive de la fonction f telle que fx=lnx-1.

  5. Pour tout réel x, elnx2+1-lne1-x20.

  6. Pour tout réel x, elnx2-1=x2-1.

  7. Pour tout réel x, e2x+1ex2+1=2x+1x2+1.

  8. Pour tout réel x, ex2=e2x.

  9. limx0ex-1x=e0.

  10. La solution de l'équation e0,2x+0,8=1 est négative.


exercice 4 candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une observation faite sur la fréquentation d'un stade a permis de constater, pour chaque année, un taux de réabonnement de 80%, ainsi que l'apparition de 10  000 nouveaux abonnés.

L'objet de cet exercice est l'étude du nombre annuel des abonnés, en supposant que la situation décrite par l'observation reste la même au fil des ans.

On note an le nombre des abonnés à la fin de la n ième année et on précise que a0=30 000 .

  1. Calculer a1 et a2 . Justifier que pour tout nombre entier naturel n, on a an+1=0,8an+10 000 .

  2. Étude graphique de la suite ann .

    1. Dans le plan muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm représente 10 000 abonnés) représenter la droite D d'équation y=0,8x+10 000 et la droite Δ d'équation y=x .
      Placer a0 sur l'axe des abscisses et, en utilisant les droites D et Δ, placer sur l'axe des abscisses les valeurs a1 , a2 et a3 (laisser apparents les traits de construction).

    2. Quelle semble être la limite de la suite ann ?

  3. Étude numérique de la suite ann .

    On considère la suite unn définie par un=an-50 000 pour tout nombre entier naturel n.

    1. Démontrer que la suite unn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, an=50 000-20 000×0,8n .

    3. Déterminer limn+an .

  4. L'objectif des dirigeants du stade est d'avoir au moins 45 000 abonnés. Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, dans combien d'années, cet objectif sera-t-il atteint ?



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